Семантика Крипке

Рассмотрим одномодальные пропозициональные логики.

Шкалой (структурой) Крипке ${\displaystyle F}$ с одним отношением называется пара ${\displaystyle (W,R)}$, где ${\displaystyle W}$ — это произвольное множество (часто говорят множество возможных миров), а ${\displaystyle R\subset W\times W}$ — отношение на ${\displaystyle W}$ (множество стрелок или упорядоченных пар), определяющее достижимость одного мира из другого.

Моделью Крипке ${\displaystyle M}$ называется пара ${\displaystyle (F,V)}$, где ${\displaystyle V}$ — это оценка на шкале, которая каждой переменной ставит в соответствие множество миров, в которых эта переменная считается истинной. Формально оценку представляют, как функцию из множества переменных ${\displaystyle PL}$ в множество всех подмножеств ${\displaystyle W}$. Истинность в точке в модели Крипке обозначается с помощью знака ${\displaystyle \models }$ и определяется индукцией по длине формулы:

${\displaystyle M,x\models p}$, если  ${\displaystyle x\in V(p)}$
${\displaystyle M,x\not \models \perp }$
${\displaystyle M,x\models A\to B}$, если ${\displaystyle M,x\not \models A}$ или ${\displaystyle M,x\models B}$
${\displaystyle M,x\models \Box A}$, если ${\displaystyle \forall y:(xRy\Rightarrow M,y\models A)}$

Другие логические связки, такие как ${\displaystyle \lor }$, ${\displaystyle \land }$ и ${\displaystyle \lnot }$ можно выразить через ${\displaystyle \to }$ и ${\displaystyle \perp }$. Дуальный модальный оператор ${\displaystyle \Diamond }$ выражается так ${\displaystyle \Diamond A\;{\stackrel {def}{=}}\;\lnot \Box \lnot A}$.

Аналогично можно определить семантику для многомодальных логик, для этого в шкале Крипке должно быть столько отношений, сколько есть модальностей в логике.