Фёдор Кудряшов родился в посёлке Мамакан, находящемся в Бодайбинском районеИркутской области. В возрасте восьми лет с семьёй переехал в Братск[3], где отец отдал его в футбольную школу местного клуба «Сибиряк», в которой Кудряшов стал играть на позиции левого защитника[3]. В 2003 году сыграл за основной состав три игры, а в 2004 году уже 14 матчей и забил один гол, а также дебютировал в Кубке России. В том же году выиграл в составе сборной Сибири турнир в Краснодаре. На этом турнире был директор московского «Спартака» Сергей Шавло, пригласивший его на просмотр в дублирующую команду[3].
В марте 2005 года Кудряшов перешёл в «Спартак», заплативший за переход защитника 30 тысяч долларов[4]. За «Спартак» Кудряшов болел с детства, как и отец[5]. Первый сезон играл в дубле. В 2006 году был подключён к тренировкам основного состава[6], как один из лучших игроков дубля[3]. В том же году дебютировал в премьер-лиге в последнем туре в игре против «Крыльев Советов»[3]. В июне 2008 года был отдан в аренду клубу «Химки» до конца сезона, затем вернулся в «Спартак». На предсезонном сборе 2007 года Кудряшов часто наигрывался в основном составе[7]. В сезоне сыграл 11 матчей за основу, включая 2 игры в Кубке УЕФА. В игре с «Сатурном» получил открытый перелом костей носа и сотрясение мозга[8]. В начале 2008 года сыграл матч в Кубке УЕФА против марсельского «Олимпика», в котором его клуб проиграл 0:3.
В июне 2008 года Кудряшов вновь был отдан в аренду в «Химки» для получения игровой практики[9]. Кудряшов сыграл все матчи команды за исключением встречи со «Спартаком»[10]. В 2009 году вернулся в «Спартак» и провёл за основной состав команды 9 игр; часть матчей пропустил из-за травм[11][12]. В 2010 году вновь сыграл 9 игр за основной состав «красно-белых».
26 августа 2010 года на правах аренды перешёл в «Томь»[13]. 29 августа 2011 года был арендован «Краснодаром» с возможностью первоочередного выкупа трансфера[14]. В составе команды дебютировал 10 сентября в матче с «Рубином», в котором его клуб победил 3:1[15].
8 августа 2012 года подписал трёхлетний контракт с «Тереком»[16].
15 января 2016 года заключил контракт на три года с «Ростовом»[17]. Сумма трансфера составила 2 млн евро[18]. 12 мая 2016 года в матче с московским «Динамо» забил первый гол в чемпионате России.
В августе 2016 года Кудряшов был вызван в сборную России, где дебютировал 31 августа в матче против сборной Турции.
В мае 2018 года вошёл в состав сборной России на чемпионат мира, где принял участие в четырёх из пяти матчей сборной.
В июне 2019 года забил дебютный гол за сборную в матче против Сан-Марино (9:0).
10 января 2019 года было объявлено о расторжении контракта с «Рубином» по обоюдному согласию сторон[19].
1 февраля 2019 года официально подписал контракт с футбольным клубом «Истанбул Башакшехир», который выступает в турецкой суперлиге. За клуб из Стамбула защитник сборной России дебютировал, выйдя в стартовом составе в матче 22-го тура чемпионата Турции против «Антальяспора»[20]. На 33-й минуте Кудряшов открыл счёт в матче, отличившись в своей дебютной игре за новый клуб. 20 июня 2019 года покинул турецкий клуб[21].
11 июля 2019 года Кудряшов подписал годичный контракт с «Сочи»[22]. В декабре клуб расторг контракт с футболистом. Причину расторжения «Сочи» отказался назвать[23]. Сам футболист причиной назвал особенности своего характера: «Руководители клуба искали человека, который будет лидером и на поле, и в раздевалке. С этой ролью я не справился. Как теперь понимаю, и не мог справиться — в силу характера»[24]. 6 января 2020 года Фёдор перешёл в турецкий клуб «Антальяспор», подписав полуторагодичный контракт[25]. 19 января он дебютировал в составе команды в матче с «Гёзтепе», в котором его клуб проиграл 0:3[26].
14 ноября 2021 года на 81-й минуте гостевого матча против Хорватии (отборочный этап ЧМ 2022) забил мяч в свои в ворота, приведший к поражению сборной России со счётом 0:1 и невыходу её на чемпионат мира напрямую[27].
5 июля 2023 года подписал контракт с воронежским «Факелом»[28].
8 февраля 2024 года объявил о завершении профессиональной карьеры[29][30][31].