Красота математики

Тождество Эйлера часто приводится как пример красивого результата:^[3][4]

$${\displaystyle \displaystyle e^{i\pi }+1=0\,.}$$

Это выражение связывает, возможно, пять самых важных математических констант (e, i, π, 1 и 0) с двумя наиболее распространёнными математическими символами (+, =). Тождество Эйлера — частный случай формулы Эйлера, которую физик Ричард Фейнман называл «нашим драгоценным камнем» и «самой замечательной формулой в математике»^[5].

Другой пример — Теорема Ферма о сумме двух квадратов, утверждающая, что любое простое число такое, что ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$, может быть представлено в виде суммы двух квадратов (например, ${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2}}$, ${\displaystyle 13=2^{2}+3^{2}}$, ${\displaystyle 37=1^{2}+6^{2}}$), что и Г. Х. Харди^[6], и Э. Т. Белл^[7] считали красивым результатом.

В опросе, где математиков просили оценить 24 теоремы по их красоте, три наиболее высоко оценённых теоремы были:^[8] уравнение Эйлера; формула Эйлера для многогранников, утверждающая, что для многогранника с V вершинами, E рёбрами и F гранями ${\displaystyle V-E+F=2}$; и Теорема Евклида о бесконечности простых чисел, которую также приводил Харди как пример красивой теоремы^[6].

Диагональный метод Кантора, доказывающий существование бесконечных множеств, которые нельзя поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел, приводится как пример красивого доказательства как математиками^[9], так и философами^[10].

Визуальные доказательства, такие как иллюстрированное доказательство теоремы Пифагора, и другие доказательства без слов, например, показанное доказательство того, что сумма всех положительных нечётных чисел до 2n − 1 есть квадрат, также считаются красивыми^[11].

Математик Пал Эрдёш говорил о Книге — воображаемой бесконечной книге, в которой Бог записал все самые красивые математические доказательства. Когда Эрдёш особенно восхищался доказательством, он восклицал: «Это прямо из Книги!»^[12]. Эта риторическая фигура вдохновила создание сборника «Доказательства из КНИГИ», включающего многие доказательства, предложенные самим Эрдёшем^[13].

В Платоновом «Тимее» пять правильных выпуклых многогранников, названных впоследствии платоновыми телами, названы «самыми красивыми» («κάλλιστα») телами^[14]. В «Тимее» они описаны как использованные демиургом, творцом-ремесленником, строящим космос, для четырёх стихий и небес, благодаря их красоте^[14].

В своей книге 1596 года «Космографическая тайна» Иоганн Кеплер утверждал, что орбиты известных тогда планет Солнечной системы расположены Богом так, чтобы соответствовать концентрическому расположению пяти платоновых тел, каждая орбита лежит на описанной сфере одного многогранника и вписанной сфере другого. Для Кеплера Бог хотел придать Вселенной форму пяти правильных тел из-за их красоты, и это объясняло, почему планет шесть (по тогдашним представлениям)^[15].

Более современный пример — исключительная простая группа Ли ${\displaystyle E_{8}}$, которую называют «возможно, самой красивой структурой во всей математике»^[16].

Математические формулировки научных теорий, особенно в физике, иногда считаются математически красивыми. Например, Роджер Пенроуз отмечал «особую красоту» в уравнениях Максвелла электродинамики:^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\,\,&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} \,\,\,&=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\end{aligned}}}$$

Теория общей теории относительности Эйнштейна была охарактеризована как произведение искусства и, помимо прочих эстетических похвал^[18], была описана Полем Дираком как обладающая «великой математической красотой»^[19], а Пенроузом — как обладающая «высшей математической красотой»^[20].

(Красота научной теории может заключаться не только в её математической формулировке. Например, визуализируемость или детерминированность теории могут влиять на её восприятие как красивой^[21][22]).

Многие математики и философы, писавшие о красоте математики, пытались выделить свойства или критерии, способствующие восприятию красоты в математическом произведении. Остаётся предметом дискуссии, можно ли прояснить или объяснить красоту такими свойствами: Пал Эрдёш считал, что убедить кого-либо в красоте математического результата не проще, чем убедить в красоте Девятой симфонии Бетховена, если человек сам этого не видит^[23].

В своём эссе 1940 года Апология математика Г. Х. Харди писал, что красивый результат, включая его доказательство, обладает тремя «чисто эстетическими качествами»: «неизбежность», «неожиданность» и «экономия». Он особенно исключал перебор случаев как «одну из самых скучных форм математического рассуждения»^[6].

В 1997 году Джан-Карло Рота не согласился с неожиданностью как достаточным условием красоты и привёл контрпример:

В противоположность этому, Монастырский писал в 2001 году:

Это расхождение иллюстрирует как субъективность математической красоты (как и других форм красоты в целом), так и её связь с математическими результатами: в данном случае — не только с существованием экзотических сфер, но и с их конкретной реализацией.

Помимо свойств Харди — «неожиданности», «неизбежности», «экономии», которые он относил и к доказательствам, математики традиционно считают красивыми те доказательства, которые коротки и просты^[25].

В поисках элегантного доказательства математики часто ищут различные независимые способы доказательства результата, поскольку первое найденное доказательство часто можно улучшить. Теорема, для которой известно наибольшее количество различных доказательств, — вероятно, Теорема Пифагора, для которой опубликованы сотни доказательств^[26]. Другая теорема, доказанная многими способами, — теорема о квадратичной взаимности. Сам Карл Фридрих Гаусс дал восемь различных доказательств этой теоремы, шесть из которых опубликовал^[27].

В противоположность этому, результаты, которые логически верны, но требуют трудоёмких вычислений или рассмотрения множества случаев, обычно не считаются красивыми и могут даже называться уродливыми или громоздкими. Например, доказательство Кеннета Аппеля и Вольфганга Хакена теоремы о четырёх красках опиралось на компьютерную проверку более тысячи случаев. Филип Дж. Дэвис и Рубен Херш писали, что, услышав о доказательстве, надеялись, что оно содержит новое озарение, «красота которого преобразит мой день», и были разочарованы, узнав, что доказательство основано на переборе и компьютерной проверке^[28]. Пал Эрдёш называл его «некрасивым», потому что оно не давало понимания, почему теорема верна^[29].

Аристотель считал, что красота особенно присуща математике, и писал в «Метафизике»:

Логик и философ Бертран Рассел дал ставшее знаменитым определение математической красоты через чистоту и строгость:

В XX веке некоторые философы ставили под сомнение существование подлинной красоты в математике. Философ науки Ром Харре утверждал, что в математике нет истинных эстетических оценок, а есть только квазиэстетические оценки. Любой математический успех, описываемый эстетическим термином, — это успех второго порядка по сравнению с пониманием и правильностью. В отличие от этого, эстетическая оценка произведения искусства — первого порядка. Харре считал, что в этом разница между квазиэстетической и подлинно эстетической оценкой^[32].

Ник Зангвилл полагал, что не существует подлинных эстетических переживаний от математики, и что доказательства или теории могут быть только метафорически красивыми. Его аргументация основывалась на двух положениях. Во-первых, он считал, что эстетические свойства зависят от чувственных свойств, а значит, абстрактные объекты не могут обладать эстетическими свойствами. Во-вторых, он полагал, что доказательства, теоремы, теории и т. д. имеют цели, такие как демонстрация правильности или предоставление понимания, и что всякая похвала им отражает только то, насколько хорошо они достигают своей цели^[33].

В 1970-х годах Абрахам Моль и Фридер Наке анализировали связи между красотой, обработкой информации и теорией информации^[34][35]. В 1990-х Юрген Шмидхубер сформулировал математическую теорию субъективной красоты, зависящей от наблюдателя, на основе алгоритмической теории информации: самые красивые объекты среди сравниваемых субъективно имеют короткие алгоритмические описания (то есть сложность Колмогорова) относительно того, что уже известно наблюдателю^[36]. Шмидхубер явно различает красивое и интересное. Последнее соответствует первой производной субъективно воспринимаемой красоты: наблюдатель постоянно стремится улучшить предсказуемость и сжимаемость наблюдений, открывая регулярности, такие как повторения, симметрии и фрактальную самоподобность. Когда процесс обучения наблюдателя (возможно, предсказующая искусственная нейронная сеть) приводит к улучшению сжатия данных, так что последовательность наблюдений можно описать меньшим числом битов, чем раньше, временная интересность данных соответствует прогрессу сжатия и пропорциональна внутреннему вознаграждению за любопытство наблюдателя^[37].

Эксперименты по нейровизуализации, проведённые Семир Зеки, Майклом Атия и их коллегами, показывают, что переживание математической красоты коррелирует с активностью в области A1 медиальной орбитофронтальной коры (mOFC) мозга, причём эта активность параметрически связана с заявленной интенсивностью красоты. Локализация активности схожа с областью, активируемой при переживании красоты от других источников, таких как изобразительное искусство или музыка^[38]. Кроме того, математики, по-видимому, устойчивы к изменению своей оценки красоты математической формулы под влиянием противоположного мнения коллег^[39].

Примеры использования математики в музыке включают стохастическую музыку Яниса Ксенакиса, последовательность Фибоначчи в песне Tool Lateralus, контрапункт Иоганна Себастьяна Баха, полиритмические структуры (например, в «Весне священной» Игоря Стравинского), метрическая модуляция Эллиота Картера, пермутационную теорию в сериализме, начиная с Арнольда Шёнберга, и применение тонов Шепарда в Штокхаузена «Hymnen». Также сюда относится применение теории групп к музыкальным преобразованиям в теоретических работах Дэвида Льюина.

Примеры использования математики в изобразительном искусстве включают применение теории хаоса и фрактальной геометрии к компьютерному искусству, исследования симметрии Леонардо да Винчи, проективную геометрию в развитии перспективы в искусстве Ренессанса, сетки в оп-арте, оптическую геометрию в камере-обскуре Джамбаттиста делла Порта, и множественную перспективу в аналитическом кубизме и футуризме.

Священная геометрия — самостоятельная область, породившая множество художественных форм, включая известнейшие мистические символы и религиозные мотивы, и имеющая особенно богатую историю в исламской архитектуре. Она также служит средством медитации и созерцания, например, при изучении каббалистических Сефирот (Древа жизни) и [[Куб Метатрона|Куба Метатрона]; а также в самом акте рисования.

Голландский график М. К. Эшер создавал вдохновлённые математикой ксилографии, литографии и меццо-тинто. В них встречаются невозможные конструкции, исследования бесконечности, архитектура, визуальные парадоксы и тесселяции.

Некоторые художники и скульпторы создают работы, искажённые с помощью математических принципов анаморфоза, например, южноафриканский скульптор Джонти Хурвиц.

Оригами, искусство складывания бумаги, обладает эстетическими качествами и множеством математических связей. Можно изучать математику оригами, наблюдая картину складок на развернутых изделиях^[40].

Британский конструктивист Джон Эрнест создавал рельефы и картины, вдохновлённые теорией групп^[41]. Ряд других британских художников конструктивистского и системного направлений также черпают вдохновение в математических моделях и структурах, включая Энтони Хилл и Питера Лоу^[42]. Компьютерное искусство основано на математических алгоритмах.