Главное значение интеграла по Коши

Интегралы с особенностями на промежутке интегрирования встречались уже в работах XVIII века (Эйлера, Лапласа), однако вычислялись в каждом случае отдельно, и общей процедуры придания им значения не существовало^[7].

Главное значение ввёл О. Коши в мемуаре об определённых интегралах, представленном Академии наук 14 ноября 1814 года и опубликованном лишь в 1825 году (т. I «Мемуаров, представленных учёными-соискателями»), чтобы работать с интегралами, у которых промежуток интегрирования содержит особую точку^[8]; термин valeur principale встречается уже там. Систематически метод изложен в «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» (1823, урок 20 «Об особых интегралах»)^[9] и в мемуаре «Об особых интегралах» из первого года «Математических упражнений» (1826), где закрепилась и нотация v.p.^[10][1] Понятие складывалось одновременно с теорией вычетов: главное значение позволило включать в исчисление вычетов полюсы, лежащие на контуре интегрирования, — приём обхода полюса малой полуокружностью остаётся основным инструментом вычисления вещественных интегралов.

Центральным объектом комплексного анализа главное значение стало после возникновения теории интеграла типа Коши: Ю. В. Сохоцкий в магистерской диссертации «Об определённых интегралах и функциях, употребляемых при разложениях в ряды» (СПб., 1868) вывел формулы для предельных значений интеграла типа Коши через главное значение^[11]; независимо тот же результат получил Я. Племель (1908)^[12]. Теорема Сохоцкого — Племеля легла в основу теории сингулярных интегральных уравнений, развитой в XX веке Ф. Нётер, Т. Карлеманом и особенно Н. И. Мусхелишвили^[2].

В работах об интегральных уравнениях (1905) Д. Гильберт столкнулся с сингулярным интегралом с ядром ${\displaystyle 1/(x-t)}$; систематическую теорию преобразования, получившего впоследствии имя Гильберта, построили М. Рисс (ограниченность в ${\displaystyle L^{p}}$, 1928) и Э. Титчмарш, и оно стало стандартным аппаратом гармонического анализа и обработки сигналов^[13].

В физику главное значение вошло через дисперсионные соотношения — связи действительной и мнимой частей функции отклика: Р. Крониг (1926) и Х. Крамерс (1927) записали их именно в форме главного значения интеграла^[14]. Л. Д. Ландау (1946) при анализе колебаний плазмы ввёл контур, отделяющий главное значение интеграла от вычета, что привело к открытию затухания Ландау^[15]. В квантовой теории поля тот же приём — «${\displaystyle i\varepsilon }$-правило» в пропагаторах — опирается на соотношение ${\displaystyle (x\pm i0)^{-1}=\operatorname {v.p.} x^{-1}\mp i\pi \delta (x)}$.

Параллельно с главным значением в 1920-е годы Ж. Адамар развил другую регуляризацию расходящихся интегралов — «конечную часть» (partie finie), понадобившуюся ему в задаче Коши для гиперболических уравнений^[16]. Окончательную общую рамку дала теория обобщённых функций: Л. Шварц (1950—1951) показал, что ${\displaystyle \operatorname {v.p.} {\frac {1}{x}}}$ корректно определяет обобщённую функцию^[17]. Эта теория была систематизирована И. М. Гельфандом и Г. Е. Шиловым, где главное значение служит одним из основных примеров сингулярной обобщённой функции^[5].

Главное значение не является «суммой» расходящегося интеграла, а представляет собой способ регуляризации, выделяющий конечную часть симметричным предельным переходом; этим объясняются его универсальность в комплексном анализе, теории распределений и физике и одновременно — неинвариантность относительно замен переменной^[5][1].

Пусть ${\displaystyle f}$ определена на всей прямой и интегрируема по Риману на каждом отрезке ${\displaystyle [-A,A]}$, но несобственный интеграл ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx}$ в обычном смысле (то есть при независимо стремящихся к ${\displaystyle \mp \infty }$ пределах) может расходиться. Если существует конечный предел

${\displaystyle \lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}f(x)\,dx,}$

то он называется главным значением интеграла по Коши функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ и обозначается

${\displaystyle \operatorname {v.p.} \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx.}$

Пример. Интеграл ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx}$ расходится (расходится, например, ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }x\,dx}$), однако главное значение существует:

${\displaystyle \operatorname {v.p.} \int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }{\frac {x^{2}}{2}}{\Big |}_{-A}^{A}=0.}$

Теорема. Пусть ${\displaystyle f}$ интегрируема по Риману на каждом ${\displaystyle [-A,A]}$. Тогда^[1]:

• если ${\displaystyle f}$ — нечётная функция, то ${\displaystyle f}$ интегрируема по Коши на ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ и главное значение равно нулю;
• если ${\displaystyle f}$ — чётная функция, то сходимость несобственного интеграла ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx}$ эквивалентна сходимости ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(x)\,dx}$ (и в этом случае главное значение совпадает со значением интеграла).

Пусть функция ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ интегрируема по Риману на отрезках ${\displaystyle [a,c-\varepsilon ]}$ и ${\displaystyle [c+\varepsilon ,b]}$ для всех ${\displaystyle \varepsilon \in (0,\delta )}$ при некотором ${\displaystyle \delta >0}$ (точка ${\displaystyle c}$ — особая; типичный пример — разрыв второго рода у функции ${\displaystyle 1/x}$). Если существует конечный предел

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f(x)\,dx\right),}$

то он называется главным значением интеграла по Коши функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle [a,b]}$ и обозначается ${\displaystyle \operatorname {v.p.} \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$. Заметим, что сходимость обычного несобственного интеграла второго рода здесь не предполагается; если же он сходится, главное значение существует и равно ему^[1][3].

Пример. Интеграл ${\displaystyle \int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}}$ расходится, поскольку расходится, например, ${\displaystyle \int _{0}^{2}{\frac {dx}{x}}}$ (см. рисунок). Главное же значение существует и равно нулю:

${\displaystyle \operatorname {v.p.} \int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int _{-2}^{-\varepsilon }{\frac {dx}{x}}+\int _{\varepsilon }^{2}{\frac {dx}{x}}\right)=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\ln \varepsilon -\ln 2+\ln 2-\ln \varepsilon \right)=0.}$

Если особых точек несколько, промежуток разбивается на части, содержащие по одной особой точке, и главное значение определяется как сумма главных значений по частям (при этом у каждой особой точки вырез симметричен относительно неё самой). Пример: интеграл ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx}$ расходится (расходится, например, ${\displaystyle \int _{2}^{+\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}-1}}=\lim _{A\to +\infty }\ln {\frac {A^{2}-1}{3}}=+\infty }$), однако функция нечётна, и симметричные вырезы у точек ${\displaystyle -1,0,1}$ и у бесконечности взаимно уничтожаются (см. рисунок):

${\displaystyle \operatorname {v.p.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}-1}}=\lim _{\varepsilon \to +0}\left(\int _{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }+\int _{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }+\int _{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }\right){\frac {2x\,dx}{x^{2}-1}}=0.}$

Здесь общий параметр ${\displaystyle \varepsilon }$ используется законно именно благодаря нечётности ${\displaystyle f}$; в общем случае вырезы у разных особых точек должны стремиться к нулю независимо.

Теорема. Если несобственный интеграл ${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx}$ (I или II рода) сходится, то существует и главное значение по Коши, причём ${\displaystyle \operatorname {v.p.} \int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}f\,dx}$. Обратное неверно: интегралы ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx}$, ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\sin x\,dx}$, ${\displaystyle \int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}}$ расходятся, но главные значения существуют (и равны нулю)^[1]. Главное значение, в отличие от несобственного интеграла, не инвариантно относительно замен переменной — это плата за симметричность вырезов^[5].

Для интеграла типа Коши ${\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {\varphi (\tau )}{\tau -z}}\,d\tau }$ по гладкому контуру ${\displaystyle \gamma }$ предельные значения при подходе к контуру выражаются через главное значение:

${\displaystyle \Phi ^{\pm }(t)=\pm {\frac {1}{2}}\varphi (t)+{\frac {1}{2\pi i}}\operatorname {v.p.} \int _{\gamma }{\frac {\varphi (\tau )}{\tau -t}}\,d\tau }$

(теорема Сохоцкого — Племеля; независимо получена Ю. В. Сохоцким в 1868 году и Я. Племелем в 1908 году)^[3][11][20]. Эта теорема — основной аппарат теории сингулярных интегральных уравнений и краевых задач Римана.