Неравенство Бесселя

Пусть ${\displaystyle H}$ — гильбертово пространство, и ${\displaystyle e_{1},e_{2},...}$ — ортонормированная последовательность элементов ${\displaystyle H}$. Тогда для произвольного ${\displaystyle x\in H}$ выполняется неравенство^[1]:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}$

где ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ обозначает скалярное произведение в пространстве ${\displaystyle H}$.

Неравенство Бесселя следует из следующего равенства:

${\displaystyle 0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},}$

которое выполняется для произвольного ${\displaystyle n\geq 1}$.