Энергия Уиллмора

Интеграл квадрата средней кривизны как мера упругого изгиба тонкой пластины появляется уже у С. Жермен и С. Д. Пуассона в начале XIX века. В конформной геометрии 1920-х В. Бляшке и Г. Томсен изучали плотность ${\displaystyle (H^{2}-K)\,dA}$ как конформный инвариант поверхности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$^[3].

В 1965 году Уиллмор предложил рассматривать ${\displaystyle W=\int H^{2}\,dA}$ как «энергию изгиба» замкнутой поверхности, доказал минимум ${\displaystyle 4\pi }$ на сферах и высказал гипотезу ${\displaystyle 2\pi ^{2}}$ для торов^[1]. Конформную инвариантность в современном виде зафиксировал Дж. Уайт (1973). П. Ли и С.-Т. Яу (1982) получили оценку ${\displaystyle 8\pi }$ при самопересечении.

В 1984 году Р. Брайант дал полную классификацию сфер Уиллмора, показав, что они получаются из полных минимальных поверхностей в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с конечной полной кривизной путём инверсии. Это установило глубокую связь между теорией Уиллмора и классической теорией минимальных поверхностей^[4]. Существование минимизаторов положительного рода доказал Л. Саймон (1993); аналитическая теория потока развита Кувертом, Шеце и Ривьером. Гипотезу Уиллмора доказали Маркиш и Невиш (2012/2014)^[2].

Пусть ${\displaystyle S}$ — гладкая (класса ${\displaystyle C^{2}}$) замкнутая ориентируемая поверхность, погружённая в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (вложение не предполагается), ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ — главные кривизны, ${\displaystyle H={\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}}$ — средняя кривизна, ${\displaystyle K=k_{1}k_{2}}$ — гауссова кривизна, ${\displaystyle dA}$ — элемент площади. Энергией Уиллмора чаще всего называют ${\displaystyle W(S)=\int _{S}H^{2}\,dA.}$

Тождественно ${\displaystyle H^{2}-K={\frac {(k_{1}-k_{2})^{2}}{4}}\geq 0,}$ поэтому ${\displaystyle H^{2}\geq K}$ с равенством в точности в омбилических точках. По формуле Гаусса — Бонне для замкнутой поверхности

${\displaystyle \int _{S}K\,dA=2\pi \chi (S)=4\pi (1-g),}$

где ${\displaystyle \chi (S)}$ — эйлерова характеристика, ${\displaystyle g}$ — род. Отсюда

${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {W}}}(S):=\int _{S}(H^{2}-K)\,dA={\frac {1}{4}}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA=W(S)-2\pi \chi (S).}$

Величина ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {W}}}}$ неотрицательна и равна нулю только для круглой сферы; она отличается от ${\displaystyle W}$ на топологическую константу и потому имеет те же критические точки при фиксированном топологическом типе. В литературе оба выражения называют энергией Уиллмора; важно фиксировать, какая нормировка имеется в виду. Исходная формулировка «интеграл от ${\displaystyle H^{2}}$ минус гауссова кривизна» отвечает именно ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {W}}}}$^[1][5].

Альтернативная запись

${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {W}}}={\frac {1}{4}}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA}$

эквивалентна определению через ${\displaystyle H}$ при соглашении ${\displaystyle H=(k_{1}+k_{2})/2}$ (а не ${\displaystyle H=k_{1}+k_{2}}$).

Свойства

• ${\displaystyle W(S)\geq 4\pi }$ для любой замкнутой погружённой поверхности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, с равенством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle S}$ — круглая сфера. Эквивалентно, ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {W}}}\geq 0}$ с тем же случаем равенства^[1].
• ${\displaystyle W}$ инвариантна относительно движений и гомотетий ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Более того, для замкнутых поверхностей она конформно инвариантна: не меняется при преобразованиях Мёбиуса пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}}$ (инверсии, стереографические проекции). Это наблюдение восходит к Бляшке и Томсену и передоказано Уайтом; именно поэтому ${\displaystyle \int H^{2}\,dA}$ для замкнутой поверхности совпадает по критическим точкам с конформно-инвариантной плотностью ${\displaystyle (H^{2}-K)\,dA}$^[6].
• По неравенству Ли — Яу, если погружение не является вложением (есть точка самопересечения), то ${\displaystyle W\geq 8\pi }$^[7].
• Функционал задан на пространстве погружений фиксированного топологического типа (не «топологического пространства») и является предметом вариационного исчисления.

Критические точки ${\displaystyle W}$ (они же — критические точки ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {W}}}}$ при фиксированном роде) называют поверхностями Уиллмора. Уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид

${\displaystyle \Delta H+2H(H^{2}-K)=0,}$

где ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа — Бельтрами индуцированной метрики. В частности, всякая минимальная поверхность в ${\displaystyle S^{3}}$ (после стереографической проекции в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) является поверхностью Уиллмора, поскольку для неё ${\displaystyle W}$ совпадает с площадью в ${\displaystyle S^{3}}$^[2].

Р. Брайант (1984) классифицировал сферы Уиллмора — погружения ${\displaystyle S^{2}}$, являющиеся критическими точками функционала. Они получаются из полных минимальных поверхностей в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с конечной полной кривизной и плоскими концами путём инверсии (конформного преобразования). Их энергия ${\displaystyle W=\int H^{2}\,dA}$ принимает значения ${\displaystyle 4\pi k}$ для целых ${\displaystyle k\geq 1}$, кроме ${\displaystyle k\in \{2,3,5,7\}}$; единственные вложенные среди них — круглые сферы. Формулировка «критические значения — целые числа ${\displaystyle \geq 4\pi }$» неверна: ${\displaystyle 4\pi }$ не целое, а спектр энергий — кратные ${\displaystyle 4\pi }$^[4].

Для поверхностей рода ${\displaystyle g\geq 1}$ Л. Саймон доказал существование гладкого вложенного минимизатора ${\displaystyle W}$^[8].

Гипотеза Уиллмора

Подробнее

Гипотеза Уиллмора

Уиллмор показал, что среди торов вращения минимум ${\displaystyle W}$ равен ${\displaystyle 2\pi ^{2}}$ и достигается при отношении радиусов ${\displaystyle R/r={\sqrt {2}}}$ — это стереографическая проекция тора Клиффорда ${\displaystyle S^{1}(1/{\sqrt {2}})\times S^{1}(1/{\sqrt {2}})\subset S^{3}}$. Он предположил (1965), что

${\displaystyle W(S)\geq 2\pi ^{2}}$

для любого тора в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Гипотезу доказали Ф. К. Маркиш и А. Невиш (анонс 2012, публикация 2014) методами минимакса Альмгрена — Питтса: для всякой вложенной замкнутой поверхности положительного рода ${\displaystyle W\geq 2\pi ^{2}}$, с равенством лишь у конформных образов тора Клиффорда. Вместе с неравенством Ли — Яу это даёт гипотезу и для погружений^[2][7].

Поток Уиллмора — ${\displaystyle L^{2}}$-градиентный геометрический поток функционала ${\displaystyle W}$ (в исходном тексте коэффициент ${\displaystyle 1/2}$ в ${\displaystyle e[{\mathcal {M}}]}$ не согласован с определением ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$). Погружение ${\displaystyle f(\,\cdot \,,t)}$ удовлетворяет

${\displaystyle \partial _{t}f=-(\Delta H+2H(H^{2}-K))\,\nu ,}$

где ${\displaystyle \nu }$ — единичная нормаль (знак выбирают так, чтобы ${\displaystyle W}$ убывала). Это параболическое уравнение четвёртого порядка: в вариацию входят четвёртые производные положения, как у потока поверхностной диффузии^[5].

Для сферических погружений с ${\displaystyle W<8\pi }$ поток существует бесконечно долго и сходится к круглой сфере (Куверт — Шеце). При большей энергии возможны особенности, связанные со сферами Уиллмора энергии ${\displaystyle 8\pi }$ и выше^[9].

Минимизация энергии Уиллмора и моделирование потока Уиллмора требуют численных методов, так как аналитические решения известны лишь для ограниченного класса поверхностей.

1. Круглая сфера радиуса ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=1/R}$, ${\displaystyle H=1/R}$, ${\displaystyle W=4\pi }$, ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {W}}}=0}$.
2. Вытянутый эллипсоид: омбилические точки только в полюсах, ${\displaystyle k_{1}\neq k_{2}}$ на экваторе, ${\displaystyle {\widetilde {\mathcal {W}}}>0}$.
3. Тор вращения ${\displaystyle (R+r\cos \theta )}$: при ${\displaystyle R/r={\sqrt {2}}}$ имеем ${\displaystyle W=2\pi ^{2}}$ (образ тора Клиффорда). При ${\displaystyle R\to r+}$ отверстие схлопывается и ${\displaystyle W\to \infty }$.
4. Поверхность Эннепера (после компактификации инверсией) даёт сферу Уиллмора с ${\displaystyle W=8\pi }$ и самопересечением, в согласии с Ли — Яу.

• Биофизика мембран. Энергия Канема — Гельфриха

${\displaystyle E=\int _{S}{\Bigl (}{\frac {\kappa }{2}}(H-c_{0})^{2}+{\bar {\kappa }}K{\Bigr )}\,dA}$

описывает замкнутые липидные везикулы; при спонтанной кривизне ${\displaystyle c_{0}=0}$ она сводится к энергии Уиллмора с точностью до топологического члена. Равновесные формы (сфера, дискоцит, стоматоцит) — критические точки этого функционала^[14][15].

• Выворачивание сферы. Минимаксные выворачивания (optiverse и родственные конструкции) строят путь в пространстве погружений ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$, минимизируя пик энергии Уиллмора вдоль пути; это даёт «оптимальные» регулярные эверсии^[16].

• Геометрическое моделирование. Поток и минимизация ${\displaystyle W}$ используются как «справедливое» сглаживание (fairing) сеток: в отличие от потока средней кривизны, конформная инвариантность лучше сохраняет детали при изменении масштаба.

• Теория относительности. В общей теории относительности масса Хокинга замкнутой поверхности ${\displaystyle S}$ в начальном данных связана с интегралом ${\displaystyle \int _{S}H^{2}\,dA}$. Неравенства типа Уиллмора дают геометрические ограничения на квазилокальную массу и энергию гравитационного поля. В частности, для чёрных дыр существуют оценки, связывающие площадь горизонта событий с энергией Уиллмора^[17].