Тензор Дарбу

Понятие появилось в мемуаре Гастона Дарбу «Геометрическое исследование ударов и соударения тел» (1880), где геометрия поверхностей возникала при изучении движений твёрдого тела с ударами; там Дарбу пришёл к соответствующим объектам в специальных координатах^[3]. Общая теория поверхностей, развитая Дарбу в его четырёхтомных «Лекциях» (1887—1896), подготовила почву для систематического изучения инвариантов поверхностей, включая кубические формы^[4].

В начале XX века кубическая форма Дарбу и связанные с нею направления и квадрики заняли центральное место в проективной дифференциальной геометрии поверхностей: они подробно изложены в книгах Фубини и Чеха (1931), Лэйна (1942) и Бола (1954)^[5][6][7]. Инвариантную тензорную запись и полное исследование тензора дал В. Ф. Каган во втором томе «Основ теории поверхностей в тензорном изложении» (1948): там установлены симметрия тензора, его связь с линиями Дарбу и теоремы о поверхностях Дарбу, включая теорему Бонне^[2].

В середине XX века выяснилась связь тензора Дарбу с теорией бесконечно малых изгибаний: И. Н. Векуа в монографии «Обобщённые аналитические функции» показал, что поверхности Дарбу положительной кривизны — это в точности те поверхности, на которых уравнения изгибаний приводятся к уравнениям Коши — Римана, и потому их изгибания описываются аппаратом обобщённых аналитических функций. Этот результат связал классическую теорию Дарбу—Кагана с приложениями к теории оболочек^[8].

С конца XX века предмет обобщался на гиперповерхности и подмногообразия пространств постоянной кривизны: обобщённый тензор Дарбу с коэффициентом ${\displaystyle (n+2)K}$, обобщённые поверхности Дарбу и циклически рекуррентные подмногообразия изучались, в частности, И. И. Бодренко^[9]; в проективной геометрии направлений Дарбу и квадрик Мутара продолжают развиваться и для гиперповерхностей высших размерностей^[10].

Пусть ${\displaystyle F^{2}}$ — двумерная поверхность в ${\displaystyle E^{3}}$ с гауссовой кривизной ${\displaystyle K\neq 0}$; ${\displaystyle b_{ij}}$ — коэффициенты её второй квадратичной формы, ${\displaystyle \nabla _{m}b_{ij}}$ — их ковариантные производные в связности первой квадратичной формы, ${\displaystyle \nabla _{m}K}$ — производные гауссовой кривизны. Тензором Дарбу называется тензор с компонентами^[1][2]:

${\displaystyle \Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\,\nabla _{m}K+b_{mi}\,\nabla _{j}K+b_{jm}\,\nabla _{i}K}{4K}},\qquad i,j,m=1,2.}$

Слагаемое ${\displaystyle \nabla _{m}b_{ij}}$ симметрично по всем трём индексам в силу уравнений Кодацци и симметрии самой второй квадратичной формы (${\displaystyle b_{ij}=b_{ji}}$); вычитаемая дробь — единственная вполне симметричная «поправка», делающая эту разность свободной от следов относительно второй квадратичной формы (свёртка ${\displaystyle b^{ij}\Theta _{ijm}}$ тождественно равна нулю, так как ${\displaystyle b^{ij}\nabla _{m}b_{ij}=\nabla _{m}K/K}$). Поэтому ${\displaystyle \Theta _{ijm}}$ можно описывать как бесследовую часть ковариантной производной второй квадратичной формы; в частности, ${\displaystyle \Theta }$ не меняется при добавлении к ${\displaystyle \nabla b}$ слагаемых вида ${\displaystyle b_{(ij}v_{m)}}$.

Аналогично определяется обобщённый тензор Дарбу ${\displaystyle n}$-мерной гиперповерхности ${\displaystyle F^{n}\subset E^{n+1}}$ с ${\displaystyle K\neq 0}$. Он задаётся той же формулой, но с коэффициентом ${\displaystyle (n+2)K}$ в знаменателе вместо ${\displaystyle 4K}$^[9]:

${\displaystyle \Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\,\nabla _{m}K+b_{mi}\,\nabla _{j}K+b_{jm}\,\nabla _{i}K}{(n+2)K}},\qquad i,j,m=1,\dots ,n.}$

С тензором Дарбу связана кубическая дифференциальная форма^[1][2]:

${\displaystyle \Theta _{ijm}\,du^{i}du^{j}du^{m}=\nabla _{m}b_{ij}\,du^{i}du^{j}du^{m}-{\frac {3\,\nabla _{m}K}{4K}}\,b_{ij}\,du^{i}du^{j}du^{m}.}$

Значение этой формы на касательном направлении ${\displaystyle du}$ к кривой на поверхности называется инвариантом Дарбу. Кривая, вдоль которой инвариант Дарбу тождественно равен нулю, называется линией (кривой) Дарбу^[2][1].

• На поверхности постоянной отрицательной кривизны инвариант Дарбу совпадает с дифференциальным параметром произвольной кривой на ней^[1].
• На неразвёртывающейся поверхности отрицательной кривизны существует ровно одно вещественное семейство линий Дарбу, а на поверхности положительной кривизны — три вещественных семейства^[1].

Число семейств отражает алгебраическую природу инварианта: это кубическая форма направления ${\displaystyle du}$, и при ${\displaystyle K>0}$ её конус нулей распадается на три вещественных направления, а при ${\displaystyle K<0}$ — на одно. Этот факт напрямую связан со знаком дискриминанта кубической формы (эти направления не следует путать с направлениями Дарбу проективной геометрии — см. ниже).

Поверхность, на которой тензор Дарбу определён и тождественно равен нулю, называется поверхностью Дарбу^[11][12][13].

• * В ${\displaystyle E^{3}}$ поверхностями Дарбу служат в точности неразвёртывающиеся поверхности второго порядка — эллипсоид, однополостный гиперболоид, эллиптический параболоид и другие невырожденные квадрики, отличные от развёртывающихся^[1][14].
• Теорема Бонне. На поверхности Дарбу в ${\displaystyle E^{3}}$ вдоль каждой линии кривизны соответствующая ей главная кривизна пропорциональна кубу другой главной кривизны^[15].
• Поверхности Дарбу с ${\displaystyle K>0}$ характеризуются тем, что система уравнений бесконечно малых изгибаний на них — и только на них — сводится к системе уравнений Коши — Римана, то есть изгибания описываются аналитическими функциями в подходящих координатах (И. Н. Векуа)^[16].
• Всякая поверхность с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой (${\displaystyle \nabla _{i}b_{jm}=\lambda _{i}b_{jm}}$ с некоторым ковектором ${\displaystyle \lambda }$) и ${\displaystyle K\neq 0}$ локально является поверхностью Дарбу^[9]; циклически рекуррентные подмногообразия пространств постоянной кривизны служат естественным обобщением поверхностей Дарбу^[9].

• Гиперповерхность ${\displaystyle F^{n}\subset E^{n+1}}$ с обращающимся в нуль обобщённым тензором Дарбу (обобщённая поверхность Дарбу) — это гиперквадрика^[9][10].

В проективной дифференциальной геометрии кубическая форма Дарбу возникает как первый нетривиальный инвариант поверхности в ${\displaystyle P^{3}}$ после двух квадратичных форм^[5][6][7]. Направления, в которых кубическая форма обращается в нуль, называются направлениями Дарбу: их три (над полем комплексных чисел), и они имеют наглядное геометрическое описание через касание квадрик.

Среди квадрик, имеющих с поверхностью касание второго порядка в точке, выделяются квадрики, у которых кривая пересечения с поверхностью имеет в этой точке особую точку с тремя слившимися касательными; такие квадрики называются квадриками Дарбу, а три соответствующие касательные — направлениями Дарбу; квадрики Дарбу образуют однопараметрический пучок Дарбу^[10][6]. Сечения этих квадрик дают также квадрики Мутара в направлениях Дарбу, осуществляющие контакт третьего порядка особого вида^[6][7].

Главное инвариантное свойство: (неразвёртывающаяся) поверхность, а равно гиперповерхность в ${\displaystyle P^{n+1}}$, является квадрикой тогда и только тогда, когда её (обобщённый) тензор Дарбу тождественно равен нулю^[10][5]. Таким образом, тензор Дарбу — это точная мера того, насколько поверхность «неквадрична», аналог того, как тензор кривизны измеряет отклонение метрики от евклидовой.

В аффинной дифференциальной геометрии, развитой в трудах В. Блашке и его школы, тензор Дарбу играет центральную роль и известен как кубическая форма Фубини — Пика (или просто кубическая форма Пика)^[17][18].

При аффинном погружении невырожденной поверхности в ${\displaystyle E^{3}}$ вводится каноническая аффинная метрика (метрика Блашке) ${\displaystyle h_{ij}}$ и индуцированная аффинная связность. Тензор Дарбу ${\displaystyle \Theta _{ijm}}$ в этом контексте пропорционален разностному тензору между индуцированной связностью и связностью Леви-Чивиты аффинной метрики.

Квадрат нормы тензора Дарбу относительно аффинной метрики называется инвариантом Пика ${\displaystyle J}$:

${\displaystyle J={\frac {1}{n(n-1)}}h^{ii'}h^{jj'}h^{mm'}\Theta _{ijm}\Theta _{i'j'm'}.}$

• Теорема Пика. Если на поверхности (или гиперповерхности) инвариант Пика тождественно равен нулю (${\displaystyle J=0}$, а значит и ${\displaystyle \Theta \equiv 0}$), то эта поверхность является аффинной сферой, а в случае невырожденной второй квадратичной формы — в точности квадрикой^[17].
• Знак инварианта Пика (и связанного с ним дискриминанта кубической формы) строго определяет число вещественных направлений Дарбу: на гиперболических поверхностях (${\displaystyle K<0}$) дискриминант всегда отрицателен, что гарантирует ровно одно вещественное направление, тогда как на эллиптических (${\displaystyle K>0}$) форма всегда распадается на три вещественных направления^[19].

• Проективная дифференциальная геометрия. Тензор (кубическая форма) Дарбу — главный инвариант третьего порядка поверхности в ${\displaystyle P^{3}}$: его нули задают направления Дарбу, с ним связаны квадрики Дарбу и квадрики Мутара высшего касания; обращение в нуль характеризует квадрики^[5][6][7].
• Аффинная дифференциальная геометрия. Тензор Дарбу (кубическая форма Пика) служит мерой отклонения аффинной сферы от квадрики. Его обращение в нуль характеризует квадрики среди всех невырожденных гиперповерхностей^[17].
• Теория изгибаний поверхностей и механика оболочек. Поверхности Дарбу с ${\displaystyle K>0}$ — единственные, на которых уравнения бесконечно малых изгибаний сводятся к уравнениям Коши — Римана; это позволяет строить изгибания и исследовать жёсткость поверхностей методами теории аналитических и обобщённых аналитических функций, что используется в математической теории упругих оболочек.
• Внутренняя геометрия поверхностей постоянной кривизны. На поверхностях с ${\displaystyle K=\mathrm {const} <0}$ инвариант Дарбу совпадает с дифференциальным параметром кривых, то есть с внутренней характеристикой, не зависящей от вложения^[1].
• Классификация поверхностей и подмногообразий. Условие ${\displaystyle \Theta =0}$ выделяет квадрики; условие ${\displaystyle \nabla b=\lambda \otimes b}$ (циклическая рекуррентность) и его следствия дают иерархию классов поверхностей, обобщающих дарбуовы, в пространствах постоянной кривизны^[9].
• Компьютерная и проективная геометрия. Кубические формы, измеряющие отклонение поверхности от квадрики, возникают в задачах проективной реконструкции и аппроксимации поверхностей квадриками высшего порядка касания^[6][7].