Шар и сфера, их сечения

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Площадь поверхности ${\displaystyle S}$ и объём ${\displaystyle V}$ шара радиуса ${\displaystyle r}$ (и диаметром ${\displaystyle d=2r}$) определяются формулами:

• ${\displaystyle S=\ 4\pi r^{2}}$

• ${\displaystyle S=\ \pi d^{2}}$

• ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

• ${\displaystyle V={\frac {\pi d^{3}}{6}}}$

Сфе́ра — геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы).

Эквивалентное определение: Сфера является поверхностью вращения, образованной вращением полуокружности вокруг своего диаметра.

Расстояние от точки сферы до её центра называется радиусом сферы.

Сфера радиуса 1 называется единичной сферой.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны.

Сфера имеет наименьшую площадь из всех поверхностей, ограничивающих данный объём, другими словами — из всех поверхностей с данной площадью сфера ограничивает наибольший объём. Именно из-за минимизации площади поверхности силой поверхностного натяжения маленькие капли воды в невесомости приобретают сферическую форму.

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат:

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2},}$

где ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ — координаты центра сферы, ${\displaystyle R}$ — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi ,\\y=y_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi ,\\z=z_{0}+R\cdot \cos \theta ,\\\end{cases}}}$

где ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$ и ${\displaystyle \phi \in [0,2\pi ).}$

Площадь поверхности сферы

${\displaystyle S=4\pi r^{2}=\pi d^{2}}$

Объём шара, ограниченного сферой

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}d^{3}.}$

Площадь сегмента сферы высоты ${\displaystyle H}$

${\displaystyle S=2\pi rH}$.

Сфери́ческий сегме́нт — поверхность, часть сферы, отсекаемая от неё некоторой плоскостью. Плоскость отсекает два сегмента: меньший сегмент называется также сферическим кругом^[1]. Если секущая плоскость проходит через центр сферы, то высота обоих сегментов равна радиусу сферы, и каждый из таких сферических сегментов называют полусферой.

Шарово́й сегме́нт — геометрическое тело, часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью. Поверхностью шарового сегмента является объединение сферического сегмента и круга (основания шарового сегмента), границы которых совпадают.

Если радиус основания сегмента равен ${\displaystyle a}$, высота сегмента равна ${\displaystyle h}$, тогда объём шарового сегмента равен ^[2]

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),}$

площадь поверхности сегмента равна

${\displaystyle A=2\pi rh}$

или

${\displaystyle A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta ).}$

Параметры ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle r}$ связаны соотношениями

${\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},}$

${\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}.}$

Подстановка последнего выражения в первую формулу для вычисления площади приводит к равенству

${\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2}).}$

Заметим, что в верхней части сферы (синий сегмент на рисунке) ${\displaystyle h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2}}},}$ в нижней части сферы ${\displaystyle h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2}}},}$ следовательно, для обоих сегментов справедливо выражение ${\displaystyle a={\sqrt {h(2r-h)}}}$ и можно привести другое выражение для объёма:

${\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h).}$

Шарово́й се́ктор — геометрическое тело, возникающее при вращении сектора вокруг одного из его радиусов (шаровой сектор 1-го рода) или вокруг диаметра, не пересекающего его дуги (шаровой сектор 2-го рода)^[3].

• Объём шарового сектора равен трети произведения площади его сферического пояса на радиус шара.
  • В частности ${\displaystyle V={\frac {2\pi r^{2}h}{3}}\;.}$, где r — радиус сектора, h — проекция хорды, стягивающей дугу сектора, на ось вращения.

Шарово́й слой — часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар^[4].

• Основания шарового слоя — это сечения шара, образовавшиеся в результате пересечения шара двумя параллельными плоскостями.
• Высота шарового слоя — это расстояние между основаниями слоя.

• Объём шарового слоя можно найти как разность объёма двух шаровых сегментов:
      ${\displaystyle V=\pi \left[H_{1}^{2}\left(R-{\frac {1}{3}}H_{1}\right)-H_{2}^{2}\left(R-{\frac {1}{3}}H_{2}\right)\right],}$
  где ${\displaystyle V}$ — объём шарового слоя, ${\displaystyle H_{1}}$ — высота большего шарового сегмента, ${\displaystyle H_{2}}$ — высота меньшего шарового сегмента, ${\displaystyle R}$ — радиус шара.
• Площадь сферической части поверхности шарового слоя (так называемый сферический пояс) зависит только от высоты слоя и радиуса шара^[5]:

  ${\displaystyle S=2\pi Rh,}$

где ${\displaystyle S}$ — площадь сферического пояса, ${\displaystyle h}$ — высота шарового слоя, ${\displaystyle R}$ — радиус шара.