Треугольник (ЕГЭ/ОГЭ)

Треуго́льник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками (называемыми сторонами треугольника), которые соединяют три точки (называемые вершинами треугольника), не лежащие на одной прямой.

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.

Сумма всех углов треугольника всегда равна 180°, а сумма любых двух сторон всегда больше третьей стороны.

Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: ${\displaystyle A,B,C}$, а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ обозначается как ${\displaystyle \Delta ABC}$. Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин: ${\displaystyle AB=c}$, ${\displaystyle BC=a}$, ${\displaystyle CA=b}$.

Треугольник ${\displaystyle \Delta ABC}$ имеет следующие углы:

• угол ${\displaystyle \angle A=\angle BAC}$ — угол, образованный сторонами ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle AC}$ и противолежащий стороне ${\displaystyle BC}$;
• угол ${\displaystyle \angle B=\angle ABC}$ — угол, образованный сторонами ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BC}$ и противолежащий стороне ${\displaystyle AC}$;
• угол ${\displaystyle \angle C=\angle ACB}$ — угол, образованный сторонами ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle AC}$ и противолежащий стороне ${\displaystyle AB}$.

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$).

Внешним углом ${\displaystyle DCA}$ плоского треугольника ${\displaystyle ABC}$ при данной вершине ${\displaystyle C}$ называется угол, смежный внутреннему углу ${\displaystyle ACB}$ треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle 180^{\circ }}$. Внешний уголтреугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.

Существует несколько основных типов треугольников.

1. По типу углов:

• Остроугольный — это треугольник, все углы которого имеют градусную меру, меньшую 90 градусов°.
• Тупоугольный — это треугольник, у которого один угол тупой, то есть его градусная мера больше 90°.
• Прямоугольный — треугольник, у которого один угол прямой, то есть имеет градусную меру 90°.

2. По типу сторон:

• Разносторонний — треугольник, у которого все стороны имеют различную длину.
• Равнобедренный — треугольник у которого две стороны равны. Иногда эти две равные стороны называют бедрами.
• Равносторонний — треугольник, у которого все стороны и углы равны. Многоугольники, у которых все стороны и углы равны, называются правильными. Это значит, что равносторонний треугольник — это правильный треугольник.

В любом треугольнике может быть медиана, биссектриса и высота.

1. Биссектриса — это луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, и при этом делит угол вершины пополам.

Точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности.

Свойство биссектрисы треугольника: биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Формула для биссектрисы:

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

${\displaystyle l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}} \over {a+b}}={\dfrac {2{\sqrt {abp(p-c)}}}{a+b}}}$, где ${\displaystyle p}$ — полупериметр.

${\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-a_{l}b_{l}}}}$ (формула Лагранжа)

${\displaystyle l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}}$

${\displaystyle l_{c}={\dfrac {2a_{l}b_{l}\cos {\dfrac {\gamma }{2}}}{\sqrt {a_{l}^{2}+b_{l}^{2}-2a_{l}b_{l}\cos {(\gamma })}}}}$

${\displaystyle l_{c}={\frac {h_{c}}{\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}$

2. Медиана — это луч, который соединяет вершину с противолежащей стороной, и делит эту сторону пополам.

Медианы в треугольнике и точка их пересечения

Медианы пересекаются в одной точке, она называется центром, или центром масс.

Свойство медианы треугольника: точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины тре угольника.

Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

${\displaystyle m_{a}={\dfrac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}},}$

${\displaystyle m_{b}={\dfrac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}},}$

${\displaystyle m_{c}={\dfrac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}},}$

где ${\displaystyle m_{a},\ m_{b},\ m_{c}}$ — медианы к сторонам треугольника ${\displaystyle a,\ b,\ c}$ соответственно.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$.

3. Высота — это луч, который выходит из вершины треугольника и падает на противоположную сторону под прямым углом (90°).

При опускании высоты из вершины острого угла тупоугольного треугольника она падает за пределами треугольника.

Высота в треугольниках различного типа

Если провести высоту из вершины равнобедренного или равностороннего треугольника, то она будет являться и медианой, биссектрисой.

Высоты треугольника, ортоцентр

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. Положение ортоцентра R зависит от вида треугольника:

• остроугольный — внутри области треугольника,
• тупоугольный — вне области треугольника,
• прямоугольный — R совпадает с вершиной при прямом угле.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам. То есть наибольшая высота проведена к наименьшей стороне, а наименьшая высота — к наибольшей стороне.

Для нахождения высоты так же можно использовать отдельные формулы. Эта формулы используется для произвольного треугольника:

• ${\displaystyle h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta =a\,{\frac {\sin \beta \cdot \sin \gamma }{\sin(\beta +\gamma )}}}$
• ${\displaystyle h_{a}={\frac {2S}{a}},}$ где ${\displaystyle S}$ — площадь треугольника, ${\displaystyle a}$ — длина стороны треугольника, на которую опущена высота.
• ${\displaystyle h_{a}^{2}={\frac {1}{2}}(b^{2}+c^{2}-{\frac {1}{2}}(a^{2}+{\frac {(b^{2}-c^{2})^{2}}{a^{2}}}))}$
• ${\displaystyle h_{a}^{2}={\frac {1}{4a^{2}}}(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}$

4. Серединный перпендикуляр — прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно к нему. Три серединных перпендикуляра в треугольнике пересекаются в одной точке. Эта точка — центр окружности, описанной около данного треугольника.

5. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне, а её длина равна половине третьей стороны.

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, совпадает с биссектрисой и медианой.

• У равных треугольников равны соответствующие элементы (стороны, углы, медианы, высоты и др.)
• У равных треугольников против равных сторон лежат равные углы, против равных углов — равные стороны.

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:^[1]

1. ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle \gamma }$ (равенство по двум сторонам и углу между ними);
2. ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
3. ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. по катету и гипотенузе;
2. по двум катетам;
3. по катету и острому углу;
4. по гипотенузе и острому углу.

Дополнительный признак: треугольники равны, если у них совпадают две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон.

Дополнительный признак {по двум сторонам и углу не между ними, если этот угол прямой или тупой}. Если в треугольниках ${\displaystyle {\mathcal {ABC}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {A_{1}B_{1}C_{1}}}}$ имеют место равенства ${\displaystyle {\mathcal {AB}}={\mathcal {A_{1}B_{1}}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {AC}}={\mathcal {A_{1}C_{1}}}}$, ${\displaystyle \angle {\mathcal {ABC}}=\angle {\mathcal {A_{1}B_{1}C_{1}}}}$, причём указанные углы НЕ являются острыми, то эти треугольники равны^[2].

Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Свойства подобных треугольников

• Отношение периметров равно отношению соответственных сторон и равно коэффициенту подобия.
• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников

• по двум равным углам
• по двум пропорциональным сторонам и углу между ними
• по трём пропорциональным сторонам

Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть 90 градусов).

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрии.

• Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c на рисунке выше).
• Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Сторона a может быть идентифицирована как прилежащая к углу В и противолежащая углу A, а сторона b — как прилежащая к углу A и противолежащая углу В.

• Если катеты равны, то треугольник называется равнобедренным прямоугольным треугольником.
• Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются натуральными числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником, а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку.

• По двум катетам: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

  Этот признак немедленно следует из первого признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равны по два катета и прямой угол.

• По катету и прилежащему острому углу: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

  Этот признак немедленно следует из второго признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равен один катет, прилежащий к нему угол и прямой угол.

• По гипотенузе и острому углу: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

  Этот признак следует из второго признака равенства треугольников, так как вторые острые углы будут равны по теореме о сумме углов треугольника и у треугольников будут равны гипотенузы и два прилежащих к ней угла.

• По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

  Этот признак докажем так. Наложим два треугольника друг на друга так, чтобы получить равнобедренный треугольник, то есть совместим их равными катетами так, чтобы углы, лежащие при этих катетах, лежали в разных плоскостях. Так как гипотенузы равны, получившийся треугольник — равнобедренный, тогда углы при основании равны. Тогда два прямоугольных треугольника будут равны по гипотенузе и острому углу.

• По катету и противолежащему острому углу: если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

  Этот признак доказывается так: если один из острых углов первого треугольника равен острому углу второго треугольника, то второй острый угол будет известен по теореме о сумме углов треугольника. Так как второй острый угол прилегает к катету, то далее равенство треугольников будет доказываться по предыдущей теореме.

Далее предполагаем, что ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ длины катетов, а ${\displaystyle c}$ длина гипотенузы

• (Теорема Пифагора)

  ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов. То есть,

  ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}ab.}$

• Для медиан ${\displaystyle m_{a}}$, ${\displaystyle m_{b}}$ и ${\displaystyle m_{c}}$ выполняется следующее соотношение:

  ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\dfrac {5}{4}}c^{2}.}$

  • В частности, медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Если высота проведена к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого следует, что в обозначениях, показанных на диаграмме:

• Высота есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух образованных ею сегментов гипотенузы, то есть

${\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}$ (иногда это называют теоремой высоты прямоугольного треугольника)

• Каждый катет треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть

${\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}$

• В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов, то есть

${\displaystyle \displaystyle d:e=a^{2}:b^{2},}$

Кроме того, высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением:^[3][4]

${\displaystyle {\dfrac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\dfrac {1}{f^{2}}}.}$

и

${\displaystyle f={\dfrac {ab}{c}}.}$

Также если прямоугольный треугольник является равнобедренным, то высота, опущенная на гипотенузу будет равна:

${\displaystyle f=r\delta _{S}\ =r(1+{\sqrt {2}})}$, где ${\displaystyle r}$ — это радиус вписанной окружности, а ${\displaystyle \delta _{S}}$ — серебряное сечение.

Треугольник ${\displaystyle ABC}$ со сторонами ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ (где ${\displaystyle c}$ — самая длинная сторона), с описанной окружностью радиуса ${\displaystyle R}$ является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно любое из следующих соотношений:^[5]

• ${\displaystyle c=2R}$, то есть одна из сторон является диаметром описанной окружности,
• ${\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2}$,
• ${\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1}$,
• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}}$,
• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ (обратная теорема Пифагора),
• ${\displaystyle a+b=2\left(R+r\right)}$, то есть сумма двух сторон равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей,
• описанная окружность является касательной к окружности девяти точек.

Если для заданного угла α, противолежащий катет, прилежащий катет и гипотенузу обозначить a, b и c соответственно, то тригонометрические функции имеют вид:

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}},\,\cos \alpha ={\frac {b}{c}},\,\operatorname {tg} \alpha ={\frac {a}{b}},\,\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {b}{a}},\sec \alpha ={\frac {c}{b}},\,\,\operatorname {cosec} \alpha ={\frac {c}{a}}.}$

И таким образом:

• Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла

${\displaystyle a=c\cdot \sin \alpha ,\,b=c\cdot \sin \beta .}$

• Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла

${\displaystyle a=c\cdot \cos \beta ,\,b=c\cdot \cos \alpha .}$

• Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла

${\displaystyle a=b\cdot \operatorname {tg} \alpha ,\,b=a\cdot \operatorname {tg} \beta .}$

• Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла

${\displaystyle a=b\cdot \operatorname {ctg} \beta ,\,b=a\cdot \operatorname {ctg} \alpha .}$

• Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними)

${\displaystyle c={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\cos \beta }}={\frac {b}{\cos \alpha }}.}$