Орбитальная скорость

В полярных координатах выражение для орбитальной скорости ${\displaystyle v}$ при кеплеровском движении по коническому сечению (эллипсу, параболе или гиперболе) имеет следующий вид^[1]:

${\displaystyle v={\sqrt {{\frac {\mu }{p}}(1+2\varepsilon \cos \theta +\varepsilon ^{2})}},}$

где:

${\displaystyle \mu }$ — гравитационный параметр, равный G(M + m) — в общей задаче двух тел, или GM — в ограниченной, где G — гравитационная постоянная, M — масса центрального тела, m — масса вращающегося тела;

${\displaystyle p}$ — фокальный параметр конического сечения (расстояние от фокуса до директрисы для параболы, отношение ${\displaystyle b^{2}/a}$ — для эллипса и гиперболы);

${\displaystyle \varepsilon }$ — эксцентриситет (${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ для эллипса, ${\displaystyle \varepsilon =1}$ для параболы, ${\displaystyle \varepsilon >1}$ — для гиперболы);

${\displaystyle \theta }$ — истинная аномалия, угол между направлением из центра, расположенного в фокусе, на ближайшую к нему точку орбиты и радиусом-вектором вращающегося тела.

Орбитальная скорость также может вычисляться по общей формуле

${\displaystyle v={\sqrt {2\left({\frac {\mu }{r}}+\epsilon \right)}}={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}},}$

где

${\displaystyle \mu }$ — гравитационный параметр,

${\displaystyle r}$ — расстояние между вращающимся телом и центральным телом,

${\displaystyle \epsilon }$ — удельная орбитальная энергия,

${\displaystyle a}$ — длина большой полуоси (или вещественной оси).

При этом

• эллиптические скорости ${\textstyle v_{e}<{\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}\right)}}}$ соответствуют движению по эллиптическим траекториям,
  • частным случаем эллиптической скорости является круговая, или первая космическая скорость;
• параболическая скорость ${\textstyle v_{p}={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}\right)}}}$ соответствует движению по параболической траектории и называется также второй космической скоростью;
• гиперболические скорости ${\textstyle v_{g}>{\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}\right)}}}$ соответствуют движению по гиперболическим траекториям.