Математическое ожидание геометрического распределения

Геометрическое распределение описывает закон распределения случайной величины X, равной номеру первого успеха в серии испытаний Бернулли^[1]. Случайная величина X принимает значения k = 1, 2, 3, … с вероятностями:

${\displaystyle P(X=k)=q^{k-1}p,}$

где p — вероятность успеха в одном испытании (0 < p ≤ 1), q = 1 − p — вероятность неудачи.

Вероятности образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию: {p, qp, q²p, q³p, …}. Чтобы успех произошёл ровно на k-м испытании, необходимо сначала k − 1 раз потерпеть неудачу (с вероятностью q каждая), а затем один раз добиться успеха (с вероятностью p)^[1].

Математическое ожидание дискретной случайной величины X, принимающей значения x₁, x₂, … с вероятностями p₁, p₂, …, определяется по формуле:

${\displaystyle E[X]=\sum _{i}x_{i}\cdot P(X=x_{i}).}$

Для случайной величины X, имеющей геометрическое распределение с вероятностью успеха p, математическое ожидание равно^[2]:

${\displaystyle E[X]={\frac {1}{p}}.}$

Это означает, что при многократном повторении эксперимента среднее число испытаний до первого успеха будет близко к значению 1/p.

Пример 1. Правильный игральный кубик подбрасывают до первого выпадения тройки. Вероятность успеха p = 1/6. Ожидаемое число бросков:

${\displaystyle E[X]=1/(1/6)=6.}$

В среднем потребуется 6 бросков.

Пример 2. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8. Ожидаемое число выстрелов до первого попадания:

${\displaystyle E[X]=1/0,8=1,25.}$

Хотя дробное число выстрелов невозможно, это означает, что в 80 % случаев стрелок попадает с первого раза, а в остальных — со второго или позже.

Пример 3. Контролёр проверяет микросхемы до первой исправной. Вероятность брака равна 0,05, следовательно, вероятность исправной детали p = 0,95. Ожидаемое число проверенных деталей:

${\displaystyle E[X]=1/0,95\approx 1,05.}$

В большинстве случаев контролёру достаточно проверить одну деталь.

Пример 4. Студент решает задачи. Вероятность ошибки равна 0,3. Ожидаемое число задач до первой ошибки:

${\displaystyle E[X]=1/0,3\approx 3,33.}$

В среднем студент ошибается примерно каждые 3—4 задачи.

В некоторых учебниках геометрическим распределением называют распределение числа неудач до первого успеха. В этом случае случайная величина Y принимает значения k = 0, 1, 2, … с вероятностями:

${\displaystyle P(Y=k)=q^{k}p.}$

Её математическое ожидание равно:

${\displaystyle E[Y]=E[X-1]={\frac {1}{p}}-1={\frac {1-p}{p}}={\frac {q}{p}}.}$

При решении задач важно чётко определить, что считается «успехом», и использовать соответствующую формулу^[2].

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ
Ключевая формула:
${\displaystyle E(X)={\frac {1}{p}}}$ — математическое ожидание геометрического распределения (${\displaystyle p}$ — вероятность успеха в одном испытании).
Смысл: среднее число испытаний до первого успеха. Чем больше ${\displaystyle p}$, тем быстрее наступает успех и тем меньше ${\displaystyle E(X)}$.
Вывод: ${\displaystyle E(X)=\sum _{k=1}^{\infty }kq^{k-1}p={\frac {1}{p}}}$, где ${\displaystyle q=1-p}$ (используется сумма бесконечной геометрической прогрессии и её производная).
Важные нюансы: в некоторых учебниках геометрическим распределением называют число неудач до первого успеха (${\displaystyle Y=0,1,2,\dots }$); тогда ${\displaystyle E(Y)=q/p}$, а не ${\displaystyle 1/p}$.
Типичные ошибки: путаница определений (что считать «успехом»); подстановка вероятности неудачи ${\displaystyle q}$ вместо ${\displaystyle p}$ в формулу ${\displaystyle E(X)=1/p}$; ожидание, что успех наступит ровно на ${\displaystyle E(X)}$-м шаге (это лишь среднее значение).
Пример из ЕГЭ: вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты равна 0,5. Ожидаемое число бросков до первого орла: ${\displaystyle E(X)=1/0,5=2}$.