Дисперсия геометрического распределения

Геометрическое распределение описывает закон распределения случайной величины X, равной номеру первого успеха в серии испытаний Бернулли^[1]. Случайная величина X принимает значения k = 1, 2, 3, … с вероятностями:

${\displaystyle P(X=k)=q^{k-1}p.}$

Вероятности образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию: {p, qp, q²p, q³p, …}. Математическое ожидание геометрического распределения равно:

${\displaystyle E[X]={\frac {1}{p}}.}$

Для случайной величины X, имеющей геометрическое распределение с вероятностью успеха p, дисперсия равна^[2]:

${\displaystyle D[X]={\frac {q}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}.}$

Пример 1. Подбрасывание правильной монеты до первого выпадения орла. p = 0,5.

${\displaystyle D[X]={\frac {0,5}{0,5^{2}}}=2.}$

Среднее число бросков до первого орла равно 2, а типичный разброс (среднеквадратичное отклонение) составляет примерно 1,41 броска.

Пример 2. Подбрасывание игрального кубика до выпадения тройки. p = 1/6.

${\displaystyle D[X]={\frac {5/6}{(1/6)^{2}}}=30.}$

Среднее число бросков до выпадения тройки равно 6, но разброс значительно больше — среднеквадратичное отклонение составляет около 5,48 броска.

В некоторых учебниках геометрическим распределением называют распределение числа неудач до первого успеха. В этом случае случайная величина Y принимает значения k = 0, 1, 2, … с вероятностями:

${\displaystyle P(Y=k)=q^{k}p.}$

Её математическое ожидание равно E[Y] = q/p. Однако дисперсия остаётся той же (так как дисперсия инвариантна относительно сдвига случайной величины на константу):

${\displaystyle D[Y]=D[X-1]=D[X]={\frac {q}{p^{2}}}.}$

При работе с геометрическим распределением важно уточнять, какая именно случайная величина рассматривается^[2].

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ
Ключевые формулы:
${\displaystyle D(X)={\frac {q}{p^{2}}}}$ — дисперсия геометрического распределения (${\displaystyle p}$ — вероятность успеха, ${\displaystyle q=1-p}$);
${\displaystyle E(X)={\frac {1}{p}}}$ — математическое ожидание (среднее число испытаний до первого успеха);
${\displaystyle \sigma ={\sqrt {D(X)}}}$ — среднеквадратичное отклонение.
Зависимости: дисперсия ${\displaystyle D(X)}$ растёт при уменьшении ${\displaystyle p}$ (чем реже успех, тем больше разброс) и достигает минимума при ${\displaystyle p\to 1}$ (почти достоверное событие).
Важные нюансы: геометрическое распределение может определяться по-разному: как число испытаний до первого успеха (${\displaystyle X=1,2,3,\dots }$) или как число неудач до первого успеха (${\displaystyle Y=0,1,2,\dots }$); во втором случае ${\displaystyle E(Y)=q/p}$, а дисперсия остаётся той же: ${\displaystyle D(Y)=q/p^{2}}$.
Типичные ошибки: путаница определений (что считать «успехом»); подстановка вероятности неудачи вместо вероятности успеха в формулу для ${\displaystyle E(X)}$; попытка использовать формулы для дискретного равномерного распределения.
Пример из ЕГЭ: вероятность брака детали равна 0,05. Контролёр проверяет детали до первой бракованной. Дисперсия числа проверенных деталей: ${\displaystyle p=0,05}$, ${\displaystyle q=0,95}$, ${\displaystyle D(X)=0,95/0,05^{2}=380}$.