Теорема Пуассона

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где ${\displaystyle p_{n}}$ — вероятность «успеха», ${\displaystyle \mu _{n}}$ — количество «успехов».

Тогда если

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda ;}$
2. ${\displaystyle \lambda >0,}$

то ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.}$

Используя формулу Бернулли, получим, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=C_{n}^{m}(p_{n})^{m}(1-p_{n})^{n-m}={\cfrac {n!}{m!(n-m)!}}{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{m}{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{n-m}=}$

${\displaystyle ={\cfrac {1}{m!}}{\cfrac {(n-m+1)(n-m+2)\ldots n}{n^{m}}}{\bigg (}\lambda +o{\bigg (}\lambda {\bigg )}{\bigg )}^{m}{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{n-m},}$

так как

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda \;\Leftrightarrow \;p_{n}={\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}}$

при

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\cfrac {o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}}{\cfrac {\lambda }{n}}}=0.}$

Но так как

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n-m+1)(n-m+2)\ldots n}{n^{m}}}={\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n-m+1)}{n}}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n-m+2)}{n}}{\bigg )}\cdot \ldots \cdot {\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n)}{n}}{\bigg )}=1;}$
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(\lambda +o(\lambda ))^{m}=\lambda ^{m};}$
3. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{n-m}=e^{-\lambda },}$

то полученное равенство превращается в

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.}$

Q.E.D.