В 2012, 2016 и 2017 годы в РАНХиГС прошёл повышение квалификации по программам «Управление инновационным развитием отраслей и регионов», «Управленческое мастерство: развитие региональных команд» и «Применение гибких методов управления проектами в органах власти Российской Федерации». Выпускник первого потока программы подготовки кадрового управленческого резерва государственной службы (школы губернаторов)[3].
С 1996 по 1998 год — заместитель председателя профкома студентов КФЭИ.
С июня 2000 по март 2001 года — специалист по страхованию, внутренний аудитор Открытого акционерного страхового общества «Промышленная страховая компания».
С апреля 2004 по июль 2006 года преподавал на кафедре макроэкономики и экономической теории КФЭИ.
С июля 2006 по май 2010 года занимал должность заместителя директора по науке Государственного учреждения «Центр перспективных экономических исследований Академии наук Республики Татарстан».
С мая 2010 года — заместитель министра экономики Республики Татарстан.
6 февраля 2018 года временно исполняющий обязанности главы Дагестана Владимир Васильев внёс на рассмотрение парламента кандидатуру Артёма Здунова на должность председателя правительства республики. 7 февраля 2018 года парламент Дагестана одобрил его кандидатуру[5].
18 ноября 2020 года президент России Владимир Путин подписал указ о назначении Здунова временно исполняющим обязанности главы Республики Мордовия[3].
19 сентября 2021 года Здунов победил на выборах Главы Республики Мордовия с результатом 78,26 % голосов. Явка составила 64,97 %[6]. 21 сентября 2021 года ЦИК Мордовии эту победу признал[7], и 29 сентября на заседании первой сессии Государственного Собрания РМ VII созыва, Здунов официально вступил в должность[8].
В сентябре 2023 года президент Путин встретился в Кремле со Здуновым и обсудил с ним социально-экономическое развитие региона, прежде всего перспективы наращивания промышленного потенциала; а также ситуацию в сельском хозяйстве, ЖКХ и строительстве. Путин поручил Здунову усилить контроль за региональным бюджетом[9].