Дифференциалы высших порядков

Пусть функция ${\displaystyle y=f(x)}$ определена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x}$ и существует такое число ${\displaystyle A}$, что приращение ${\displaystyle \Delta y}$ может быть представлено в виде ${\displaystyle \Delta y=A\Delta x+\alpha }$, где ${\displaystyle \alpha /\Delta x\to 0}$ при ${\displaystyle \Delta x\to 0}$.

Величина ${\displaystyle A\Delta x}$ в этой сумме обычно обозначается символами ${\displaystyle dy}$ или ${\displaystyle df(x)}$, и называется дифференциалом функции ${\displaystyle f(x)}$ (по переменному ${\displaystyle x}$) в точке ${\displaystyle x}$.

Функция ${\displaystyle y=f(x)}$ имеет в точке ${\displaystyle x}$ дифференциал в том и только в том случае, если она имеет в этой точке конечную производную ${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=A}$.

Функция, для которой существует дифференциал, называется дифференцируемой в рассматриваемой точке. Таким образом, дифференцируемость функции означает одновременно и существование дифференциала, и существование конечной производной. При этом дифференциал функции равен ${\displaystyle dy=f'(x)dx}$. Дифференциал ${\displaystyle dy}$ называют также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка^[1].

Пусть функция ${\displaystyle y=f(x)}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x}$. Может оказаться, что в точке ${\displaystyle x}$ дифференциал ${\displaystyle dy=f'(x)dx}$, рассматриваемый как функция ${\displaystyle x}$, есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка функции ${\displaystyle y=f(x)}$ и обозначается ${\displaystyle d^{2}y}$. То есть ${\displaystyle d^{2}y=d(dy)}$^[2].

Аналогично определяются дифференциалы более высоких nорядков:

Дифференциалом n-го порядка ${\displaystyle d^{n}y}$ функции ${\displaystyle y=f(x)}$ называется дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка этой функции ${\displaystyle d^{n}y=d(d^{n-1}y)}$. 

Если аргумент ${\displaystyle x}$ дифференцируемой функции ${\displaystyle y=f(x)}$ представляет собой независимую переменную, то для дифференциала ${\displaystyle dy}$ этой функции справедливо представление ${\displaystyle dy=f'(x)dx}$.

Это представление является универсальным и справедливо также и в случае, когда аргумент ${\displaystyle x}$ сам является дифференцируемой функцией вида ${\displaystyle x=\varphi (t)}$ некоторой независимой переменной ${\displaystyle t}$. Это свойство дифференциала функции принято называть инвариантностью его формы. Второй и последующие дифференциалы функции ${\displaystyle y=f(x)}$ уже не обладают инвариантностью формы. Вследствие этого данное свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала^[3].

При вычислении второго и последующих дифференциалов различают два случая:

1. аргумент ${\displaystyle x}$ является независимой переменной;
2. аргумент ${\displaystyle x}$ представляет собой соответствующее число раз дифференцируемую функцию некоторой независимой переменной ${\displaystyle t}$.

Первый случай

Если ${\displaystyle x}$ является независимой переменной, считается, что ${\displaystyle dx}$ не зависит от ${\displaystyle x}$ и равен одному и тому же приращению аргумента ${\displaystyle \Delta x}$ (для всех точек ${\displaystyle x}$) и для второго дифференциала функции ${\displaystyle y=f(x)}$ справедливо представление ${\displaystyle d^{2}y=f''(x)(dx)^{2}=f^{(2)}(x)(dx)^{2}}$.

Аналогично, по индукции, для ${\displaystyle n}$-го дифференциала ${\displaystyle n}$ раз дифференцируемой функции ${\displaystyle y=f(x)}$ справедливо представление ${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)(dx)^{n}}$.

Таким образом, производная порядка ${\displaystyle n}$ функции ${\displaystyle y=f(x)}$ равна отношению ${\displaystyle n}$-го дифференциала этой функции ${\displaystyle d^{n}y}$ к ${\displaystyle n}$-й степени дифференциала аргумента ${\displaystyle dx}$. Второй случай

Если аргумент ${\displaystyle x}$ является соответствующее число раз дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной ${\displaystyle t}$, представления для второго и последующих дифференциалов имеют совсем другой вид. Так, выражение для второго дифференциала, считая, что функция ${\displaystyle y=f(x)}$ два раза дифференцируема в данной точке ${\displaystyle x}$, а её аргумент ${\displaystyle x}$ является два раза дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной ${\displaystyle t}$, имеет вид ${\displaystyle d^{2}y=f^{(2)}(x)(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x}$.

Как видно из приведённого выражения, в этом случае второй дифференциал уже не обладает свойством инвариантности формы. Тем более не обладают свойством инвариантности формы последующие дифференциалы^[4].

• Второй дифференциал линейной функции независимого переменного равен нулю: ${\displaystyle d^{2}(ax+b)=0}$. В частности, второй дифференциал независимого переменного равен нулю: ${\displaystyle d^{2}x=0}$.
• Третий дифференциал квадратичной функции независимого переменного равен нулю: ${\displaystyle d^{3}(ax^{2}+bx+c)=0}$.
• Вообще, ${\displaystyle (n+1)}$-й дифференциал многочлена ${\displaystyle n}$-й степени равен нулю^[5].