Группы Конвея

Томас Томпсон^[3] рассказал, как Джон Лич примерно в 1964 году исследовал плотную упаковку сфер в евклидовых пространствах высоких размерностей. Одним из открытий Лича была решётчатая укладка в 24-мерном пространстве, основанная на том, что стало называться решёткой Лича ${\displaystyle \Lambda }$. Он решил узнать, содержит ли группа симметрии решётки интересные простые группы, но почувствовал, что ему нужна помощь кого-либо, более осведомлённого в теории групп. Он долго искал такого человека, но математики были заняты своими собственными задачами. Джон Конвей согласился посмотреть на эту задачу. Джон Г. Томпсон заявил, что примет участие в работе, если Конвей найдёт порядок группы. Конвей полагал, что потратит на проблему месяцы или годы, но получил результат за несколько дней.

Витт^[4] утверждал, что он нашёл решётку Лича в 1940 году, и намекнул, что вычислил порядок её группы автоморфизмов Co₀.

Конвей начал свои исследования Co₀ с подгруппы, которую он назвал N. Это голоморф (расширенного) двоичного кода Голея, представленного как набор диагональных матриц c 1 или −1 на диагонали, то есть его расширение с помощью группы Матьё M₂₄ (элементы которой представлены как матрицы перестановки). N ≈ 2¹²:M₂₄.

Стандартное представление двоичного кода Голея, используемое в данной статье, упорядочивает 24 координаты так, что 6 последовательных блоков по 4 (тетрад) образуют секстет.

Матрицы группы Co₀ ортогональны. То есть, они оставляют скалярное произведение неизменным. Обратная матрица является её транспонированной. Co₀ не содержит матриц с определителем −1.

Решётку Лича можно определить как Z-модуль, порождённый множеством ${\displaystyle \Lambda _{2}}$ всех векторов типа 2, состоящих из

(4, 4, 0²²)

(2⁸, 0¹⁶)

(−3, 1²³)

и их образов под действием N. ${\displaystyle \Lambda _{2}}$ под действием N распадается на 3 орбиты размера 1104, 97152 и 98304. Тогда ${\displaystyle |\Lambda _{2}|=196560=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 13}$. Конвей сильно подозревал, что Co₀ транзитивна на ${\displaystyle \Lambda _{2}}$, и, более того, он обнаружил новую матрицу, не мономиальную и не целочисленную.

Пусть ${\displaystyle \eta }$ — матрица 4×4

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{pmatrix}}}$

Теперь пусть ${\displaystyle \zeta }$ — 6-блочная матрица с нечётным числом ${\displaystyle \eta }$ и ${\displaystyle -\eta }$^[5][6]. ${\displaystyle \zeta }$ является симметричной и ортогональной матрицей, а значит, представляет собой инволюцию. Она переставляет вектора между различными орбитами группы N.

Чтобы вычислить ${\displaystyle |\mathrm {Co} _{0}|}$, лучше всего рассмотреть ${\displaystyle \Lambda _{4}}$, множество векторов типа 4. Любой вектор типа 4 является в точности одним из 48 векторов типа 4, сравнимых друг с другом по модулю ${\displaystyle 2\Lambda }$, которые распадаются на 24 ортогональные пары ${\displaystyle \{v,-v\}}$. Набор из 48 таких векторов называется каркасом (англ. frame). N имеет в качестве орбиты стандартный каркас из 48 векторов вида (±8, 0²³). Подгруппа, фиксирующая заданный каркас, сопряжена с N. Группа 2¹², изоморфная коду Голея, действует как изменение знака векторов каркаса, в то время как M₂₄ переставляет 24 пары каркаса. Co₀, как можно показать, транзитивна на ${\displaystyle \Lambda _{4}}$. Конвей перемножил порядок ${\displaystyle 2^{12}|\mathrm {M} _{24}|}$ группы N и число каркасов, последнее равно отношению ${\displaystyle |\Lambda _{4}|/48=8252375=3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13}$. Это произведение является порядком любой подгруппы группы Co₀, которая строго содержит N. Следовательно, N является максимальной подгруппой группы Co₀ и содержит силовские 2-подгруппы группы Co₀. N также является подгруппой Co₀ всех матриц с целыми элементами.

Поскольку ${\displaystyle \Lambda }$ включает вектора вида (±8, 0²³), Co₀ состоит из рациональных матриц, в которых все знаменатели делят 8.

Наименьшее нетривиальное представление группы Co₀ над любым полем является 24-мерным, возникающим из решётки Лича, и оно точно над полями с характеристикой, отличной от 2.

Любая инволюция в Co₀, как можно показать, сопряжена элементу в коде Голея. Co₀ имеет 4 класса сопряжённости инволюций.

Перестановочная матрица вида 2¹², как можно показать, сопряжена додекадам. Её централизатор^[7] имеет вид 2¹²:M₁₂ и имеет сопряжения внутри мономиальной подгруппы. Любая матрица в этом сопряжённом классе имеет след 0.

Матрица перестановок вида 2⁸1⁸, как можно показать, сопряжена октаде. Она имеет след 8. Она и противоположная ей (след −8) имеют общий централизатор вида ${\displaystyle (2^{1+8}\times 2).\mathrm {O} _{8}^{+}(2)}$, максимальная подгруппа в Co₀.

Конвей и Томпсон обнаружили, что четыре недавно найденные спорадические простые группы, описанные в докладе на конференции^[8], изоморфны подгруппам или факторгруппам подгрупп Co₀.

Конвей сам использовал нотацию для стабилизаторов точек и подпространств, ставя в начале префикс в виде точки. Исключениями были •0 и •1, известные ныне как Co₀ и Co₁. Для целого ${\displaystyle \mathbf {n} \geqslant 2}$ пусть ${\displaystyle {\boldsymbol {\cdot }}\mathbf {n} }$ означает стабилизатор точек типа n (см. выше) в решётке Лича.

Конвей затем ввёл названия для стабилизаторов плоскостей, определённых треугольниками, имеющими начало координат в качестве вершины. Пусть •hkl будет поточечным стабилизатором треугольника с рёбрами (разности вершин) типа h, k и l. В простейших случаях Co₀ транзитивна на точках или треугольниках и группы стабилизаторов определены с точностью до сопряжённости.

Конвей отождествил •322 с 'группой МакЛафлина McL (порядок 898,128,000), а •332 с 'группой Хигмана — Симса HS (порядок 44,352,000). Обе были недавно обнаружены.

Ниже таблица^[9][10] некоторых групп подрешёток:

Две спорадические подгруппы можно определить как факторгруппы стабилизаторов структур на решётке Лича. Отождествление R²⁴ с C¹² и ${\displaystyle \Lambda }$ с

${\displaystyle \mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},}$

результирующей группой автоморфизмов (то есть, группой автоморфизмов решётки Лича, сохраняющих комплексную структуру), когда делится на шестиэлементную группу комплексных скалярных матриц, даёт 'группу Судзуки Suz (порядка 448,345,497,600). Эту группу обнаружил в 1968 году Митио Сузуки.

Похожее построение даёт группу Янко J₂ (порядок 604,800) как факторгруппу кватернионных автоморфизмов ${\displaystyle \Lambda }$ по группе скаляров ±1.

Семь простых групп, описанных выше, включают то, что Роберт Грисс назвал вторым поколением счастливого семейства, которое состоит из 20 спорадических простых групп, найденных в монстре. Некоторые из семи групп содержат по меньшей мере некоторые из пяти групп Матьё, которые составляют первое поколение.

Co₀ имеет 4 класса смежности элементов порядка 3. В M₂₄ элемент вида 3⁸ образует группу, нормальную в копии S₃, которая коммутирует с простой подгруппой порядка 168. Прямое произведение ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3}}$ в M₂₄ переставляет октады трио и переставляет 14 додекадных диагональных матриц в мономиальной подгруппе. В Co₀ этот мономиальный нормализатор ${\displaystyle 2^{4}\colon \mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3}}$ расширен до максимальной подгруппы вида ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{9}\times \mathrm {S} _{3}}$, где 2.A₉ является двойным накрытием знакопеременной группы A₉^[11].

Джон Томпсон указал на то, что было бы плодотворно изучение нормализаторов малых групп вида 2.A_n^[12]. Некоторые максимальные подгруппы Co₀ найдены таким способом. Более того, две спорадические группы появляются в результирующей цепочке.

Существует подгруппа ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {S} _{4}}$, только одна из её цепочек не максимальна в Co₀. Далее, существует подгруппа ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{7}\times \mathrm {PSL} _{2}(7))\colon {2}}$. Следующей идёт ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{6}\times \mathrm {SU} _{3}(3)):2}$. Унитарной группой ${\displaystyle \mathrm {SU} _{3}(3)}$ (порядок 6048) связана с группой автоморфизмов графа с 36 вершинами, предвосхищая следующую подгруппу. Эта подгруппа — ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{5}\circ \mathrm {2.HJ} ):2}$, в которой появляется Группа Янко J2. Упомянутый граф расширяется до графа Холла — Янко со 100 вершинами. Следующей идёт ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{4}\circ 2.\mathrm {G} _{2}(4)):2}$, группа G₂(4), которая является исключительной группой лиева типа^[13][16].

Цепочку завершает 6.Suz:2 (Suz=Спорадическая группа Судзуки), которая, как упомянуто выше, сохраняет комплексное представление решётки Лича.

Конвей и Нортон предположили в статье 1979 года, что возможен аналог чудовищного вздора и для других групп. Лариса Куин и другие последовательно нашли, что можно построить расширения многих главных модулей (в английской литературе используется заимствованный из немецкого языка термин Hauptmodul, буквально — главный модуль) из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для групп Конвея соответствующие ряды Маккея — Томпсона — это ${\displaystyle T_{2B}(\tau )}$={1, 0, 276, −2048, 11 202, −49 152, …} (A007246) и ${\displaystyle T_{4A}(\tau )}$={1, 0, 276, 2048, 11 202, 49 152, …} (A097340), где постоянный член a(0)=24,

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}}$

и ${\displaystyle \eta (\tau )}$ является эта-функцией Дедекинда.