Спорадическая группа

Спорадическая группа — одна из 26 исключительных групп в теореме о классификации простых конечных групп.

Простая группа — это группа G, не содержащая каких-либо нормальных подгрупп, отличных от самой группы G и тривиальной (единичной) подгруппы. Теорема классификации утверждает, что список конечных простых групп состоит из 18 счётных бесконечных семейств, плюс 26 исключений, которые не попадают в эту классификацию. Эти исключения называются спорадическими группами. Они также известны под названиями «спорадические простые группы» или «спорадические конечные группы». Поскольку группа Титса не является строго группой лиева типа, иногда она также считается спорадической^[1] и в этом случае является 27-ой спорадической группой.

Группа Монстр является наибольшей среди спорадических групп и содержит в качестве подгрупп или подфакторгрупп все, за исключением шести, другие спорадические группы.

Пять спорадических групп обнаружил Матьё в 1860-х годах, остальные 21 найдены между 1965 и 1975 годами. Существование нескольких из этих групп было предсказано до их построения. Позднее было доказано, что этим окончательно завершён полный поиск. Большинство групп носят имена математиков, первыми предсказавшими их существование.

Полный список групп:

группы Матьё Группа Матьё M11, Группа Матьё M12, Группа Матьё M22, Группа Матьё M23, Группа Матьё M24
группы Янко Группа Янко J1, J₂ или HJ, J₃ или HJM, Группа Янко J4
Группы Конвея Co₁, Группа Конвея Co2, Группа Конвея Co3
Группы Фишера Группа Фишера Fi22, Группа Фишера Fi23, Fi₂₄′ или F₃₊
Группа Хигмана — Симса HS
Группа МакЛафлина McL
Группа Хельда He или F₇₊, или F₇
Группа Рудвалиса Ru
Группа Судзуки Suz или F₃₋
Группа О'Нана O’N
Группа Харады — Нортона HN или F₅₊, или F₅
Группа Лайонса Ly
Группа Томпсона Th или F_3|3, или F₃
Группа «малый Монстр» B или F₂₊, или F₂
Группа «Монстр» Фишера-Грейса M или F₁

Группа Титса T иногда также считается спорадической группой (она почти лиева типа) и по этой причине по некоторым источникам число спорадических групп даётся как 27, а не 26. По другим источникам группа Титса не считается ни спорадической, ни группой лиева типа.

Для всех спорадических групп были построены матричные представления над конечными полями.

Наиболее раннее употребление термина «спорадическая группа» найдено у Бёрнсайда^[2], где он говорит о группах Матьё: «Эти, по всей видимости, спорадические простые группы требуют более тщательного исследования, чем до сих пор получали».

Диаграмма справа основывается на диаграмме Ронана^[3]. Спорадические группы также имеют большое число подгрупп, не являющихся спорадическими, но на диаграмме они не представлены ввиду их огромного числа.

Из 26 спорадических групп 20 находятся внутри группы «Монстр» в качестве подгрупп или подфакторгрупп.

I. Парии

Шесть исключений J₁, J₃, J₄, O’N, Ru и Ly иногда называют париями.

II. Счастливое Семейство

Остальные двадцать групп называют Счастливым семейством (название дал Роберт Грис) и их можно разбить на три поколения.

Первое поколение (5 групп) — группы Матьё

Группы M_n для n = 11, 12, 22, 23 и 24 являются кратно-транзитивными группами перестановок n точек. Все они являются подгруппами группы M₂₄, которая является группой перестановок 24 точек.

Второе поколение (7 групп) — решётка Лича

Все подфакторы группы автоморфизмов решётки в 24-мерном пространстве, называемой решёткой Лича:

Co₁ — факторгруппа группы автоморфизмов по центру {±1}
Co₂ — стабилизатор вектора типа 2 (то есть длины 2)
Co₃ — стабилизатор вектора типа 3 (то есть длины √6)
Suz — группа автоморфизмов, сохраняющих структуру (модуль центра)
McL — стабилизатор треугольника типа 2-2-3
HS — стабилизатор треугольника типа 2-3-3
J₂ — группа автоморфизмов, сохраняющих кватернионную структуру (модуль по центру).

Третье поколение (8 групп) — другие подгруппы Монстра

Состоит из подгрупп, которые тесно связаны с Монстром M:

B или F₂ имеет двойное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 2 в M
Fi₂₄′ имеет тройное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 3 в M (класс сопряжённости «3A»)
Fi₂₃ является подгруппой Fi₂₄′
Fi₂₂ имеет двойное покрытие, которое является подгруппой Fi₂₃
Произведение Th = F₃ и группы порядка 3 является централизатором элемента порядка 3 в M (класс сопряжённости «3C»)
Произведение HN = F₅ и группы порядка 5 является централизатором элемента порядка 5 в M
Произведение He = F₇ и группы порядка 7 является централизатором элемента порядка 7 в M.
Наконец, Монстр сам по себе считается принадлежащим этому поколению.

(Эта серия продолжается и дальше — произведение M₁₂ и группы порядка 11 является централизатором элемента порядка 11 в M.)

Группа Титса также принадлежит этому поколению — существует подгруппа $S_{4}\times {^{2}}{F_{4}(2)^{\prime }}$ , нормализующая 2C² подгруппу B, порождающая подгруппу $2{\cdot }S_{4}\times {^{2}}F_{4}(2)^{\prime }$ , нормализующую некоторую подгруппу Q₈ Монстра. ${^{2}}F_{4}(2)^{\prime }$ является также подгруппой групп Фишера Fi₂₂, Fi₂₃ и Fi₂₄′ и «малого Монстра» B. ${^{2}}F_{4}(2)^{\prime }$ является подгруппой группы-парии Рудвалиса Ru и не имеет других зависимостей со спорадическими простыми группами кроме перечисленных выше.

Группа	Поколение	Порядок (последовательность A001228 в OEIS)	Значащих цифр	Разложение	Тройка Стандартных генераторов (a, b, ab)^[4]^[5]^[6]	Другие условия
F₁ или M	третье	8080174247945128758864599049617107 57005754368000000000	≈ 8⋅10⁵³	2⁴⁶ • 3²⁰ • 5⁹ • 7⁶ • 11² • 13³ • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71	2A, 3B, 29
F₂ или B	третье	4154781481226426191177580544000000	≈ 4⋅10³³	$2^{41}\cdot 3^{13}\cdot 5^{6}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 31\cdot 47$	2C, 3A, 55	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=23$
Fi₂₄' или F₃₊	третье	1255205709190661721292800	≈ 1⋅10²⁴	2²¹ • 3¹⁶ • 5² • 7³ • 11 • 13 • 17 • 23 • 29	2A, 3E, 29	$o((ab)^{3}b)=33$
Группа Фишера Fi23	третье	4089470473293004800	≈ 4⋅10¹⁸	2¹⁸ • 3¹³ • 5² • 7 • 11 • 13 • 17 • 23	2B, 3D, 28
Группа Фишера Fi22	третье	64561751654400	≈ 6⋅10¹³	2¹⁷ • 3⁹ • 5² • 7 • 11 • 13	2A, 13, 11	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=12$
F₃ или Th	третье	90745943887872000	≈ 9⋅10¹⁶	2¹⁵ • 3¹⁰ • 5³ • 7² • 13 • 19 • 31	2, 3A, 19
Группа Лайонса	пария	51765179004000000	≈ 5⋅10¹⁶	2⁸ • 3⁷ • 5⁶ • 7 • 11 • 31 • 37 • 67	2, 5A, 14	$o(ababab^{2})=67$
F₅ или HN	третье	273030912000000	≈ 3⋅10¹⁴	2¹⁴ • 3⁶ • 5⁶ • 7 • 11 • 19	2A, 3B, 22	$o([a,b])=5$
Co₁	второе	4157776806543360000	≈ 4⋅10¹⁸	2²¹ • 3⁹ • 5⁴ • 7² • 11 • 13 • 23	2B, 3C, 40
Группа Конвея Co2	второе	42305421312000	≈ 4⋅10¹³	2¹⁸ • 3⁶ • 5³ • 7 • 11 • 23	2A, 5A, 28
Группа Конвея Co3	второе	495766656000	≈ 5⋅10¹¹	2¹⁰ • 3⁷ • 5³ • 7 • 11 • 23	2A, 7C, 17
Группа О'Нана	пария	460815505920	≈ 5⋅10¹¹	2⁹ • 3⁴ • 5 • 7³ • 11 • 19 • 31	2A, 4A, 11
Спорадическая группа Судзуки	второе	448345497600	≈ 4⋅10¹¹	2¹³ • 3⁷ • 5² • 7 • 11 • 13	2B, 3B, 13	$o([a,b])=15$
Ru	пария	145926144000	≈ 1⋅10¹¹	2¹⁴ • 3³ • 5³ • 7 • 13 • 29	2B, 4A, 13
F₇ или He	третье	4030387200	≈ 4⋅10⁹	2¹⁰ • 3³ • 5² • 7³ • 17	2A, 7C, 17
Группа МакЛафлина	второе	898128000	≈ 9⋅10⁸	2⁷ • 3⁶ • 5³ • 7 • 11	2A, 5A, 11	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=7$
Группа Хигмана — Симса	второе	44352000	≈ 4⋅10⁷	2⁹ • 3² • 5³ • 7 • 11	2A, 5A, 11
Группа Янко J4	пария	86775571046077562880	≈ 9⋅10¹⁹	2²¹ • 3³ • 5 • 7 • 11³ • 23 • 29 • 31 • 37 • 43	2A, 4A, 37	$o(abab^{2})=10$
J₃ или HJM	пария	50232960	≈ 5⋅10⁷	2⁷ • 3⁵ • 5 • 17 • 19	2A, 3A, 19	$o([a,b])=9$
J₂ или HJ	второе	604800	≈ 6⋅10⁵	2⁷ • 3³ • 5² • 7	2B, 3B, 7	$o([a,b])=12$
Группа Янко J1	пария	175560	≈ 2⋅10⁵	2³ • 3 • 5 • 7 • 11 • 19	2, 3, 7	$o(abab^{2})=19$
Группа Матьё M24	первое	244823040	≈ 2⋅10⁸	2¹⁰ • 3³ • 5 • 7 • 11 • 23	2B, 3A, 23	$o(ab(abab^{2})^{2}ab^{2})=4$
Группа Матьё M23	первое	10200960	≈ 1⋅10⁷	2⁷ • 3² • 5 • 7 • 11 • 23	2, 4, 23	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=8$
Группа Матьё M22	первое	443520	≈ 4⋅10⁵	2⁷ • 3² • 5 • 7 • 11	2A, 4A, 11	$o(abab^{2})=11$
Группа Матьё M12	первое	95040	≈ 1⋅10⁵	2⁶ • 3³ • 5 • 11	2B, 3B, 11
Группа Матьё M11	первое	7920	≈ 8⋅10³	2⁴ • 3² • 5 • 11	2, 4, 11	$o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=4$

William Burnside. Theory of groups of finite order. — 1911. — С. 504 (note N). — ISBN 0-486-49575-2.
Conway J. H. A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.. — 1968. — Т. 61, вып. 2. — С. 398–400. — doi:10.1073/pnas.61.2.398.
Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Wilson R. A. Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 0-19-853199-0.
Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The Classification of the Finite Simple Groups. — American Mathematical Society, 1994. Выпуски 1, 2, …
Robert L. Griess. Twelve Sporadic Groups. — Springer-Verlag, 1998. — ISBN 3540627782.
Mark Ronan. Symmetry and the Monster. — Oxford, 2006. — ISBN 978-0-19-280722-9.

Weisstein, Eric W. Sporadic Group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Atlas of Finite Group Representations: Sporadic groups

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Теория групп
Основные понятия	Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа Произведение Прямое Полупрямое Свободное Действие группы
Алгебраические свойства	Коммутативная группа Циклическая группа Упорядоченная группа Разрешимая группа Лемма Шрайера Теорема Лагранжа Теоремы Силова Классификация простых конечных групп
Конечные группы	Конечная циклическая группа C_n Симметрическая группа S_n Диэдрическая группа D_n Знакопеременная группа A_n Четверная группа Клейна Группы Матьё M₁₁ M₁₂ M₂₂ M₂₃ M₂₄ Группы Конвея Co₁ Co₂ Co₃ Группы Янко J₁ J₂ J₃ J₄ Группы Фишера F₂₂ F₂₃ F₂₄ Монстр (М)
Топологические группы	Группы Ли Ортогональная группа O(n) Специальная ортогональная группа SO(n) Унитарная группа U(n) Специальная унитарная группа SU(n) Симплектическая группа Sp(n) Исключительные простые Группа Лоренца Группа Пуанкаре
Алгоритмы на группах	Шрайера — Симса Тодда — Коксетера преобразование Фурье

Спорадическая группа

Имена спорадических групп

Система

I. Парии

II. Счастливое Семейство

Первое поколение (5 групп) — группы Матьё

Второе поколение (7 групп) — решётка Лича

Третье поколение (8 групп) — другие подгруппы Монстра

Таблица порядков спорадических групп

Примечания

Литература

Ссылки

Категории