Двоичный код Голея
Двоичный код Голея — один из двух связанных друг с другом исправляющих ошибки линейных кодов:
- совершенный двоичный код Голея — совершенный двоичный код с параметрами , или
- расширенный двоичный код Голея, получающийся из совершенного добавлением бита контроля чётности и имеющий параметры .
![{\displaystyle [23,12,7]}](https://ru.ruwiki.ru/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc79baa92efb12afed9ec31c4bf8dd7a7669a3f4)
![{\displaystyle [24,12,8]}](https://ru.ruwiki.ru/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5346c89f3c9e9c7beba1655a3fba8122150193)
Что важно знать
| Совершенный двоичный код Голея | |
|---|---|
| Назван в честь | Марсель Голей |
| Тип | линейный блочный код |
| Длина блока | 23 |
| Длина сообщения | 12 |
| Доля | 12/23 ~ 0.522 |
| Расстояние | 7 |
| Размер алфавита | 2 |
| Обозначение | |
![{\displaystyle [23,12,7]_{2}}](https://ru.ruwiki.ru/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17f5f280c4e4796b177454dd9e84c3b7ade8325)
| Расширенный двоичный код Голея | |
|---|---|
| Назван в честь | Марсель Голей |
| Тип | линейный блочный код |
| Длина блока | 24 |
| Длина сообщения | 12 |
| Доля | 12/24 = 0.5 |
| Расстояние | 8 |
| Размер алфавита | 2 |
| Обозначение | |
![{\displaystyle [24,12,8]_{2}}](https://ru.ruwiki.ru/api/rest_v1/media/math/render/svg/94468240ab43ea76dd2a763b3ae1442fdc6bdded)
Свойства
- Совершенный код Голея исправляет ошибки, если они затронули не более 3 бит, и обнаруживает факт наличия ошибки если они затронули не более 7 бит.
- Расширенный код Голея дважды чётен (норма любого вектора делится на 4), и унимодулярен (размерность равна половине размерности пространства).
- Минимальная норма ненулевого вектора расширенного кода Голея равна 8. Размерность 24 — первая, в которой дважды чётный унимодулярный код может не иметь вектора нормы 4.
- Группа автоморфизмов расширенного кода Голея — группа Матьё .
- Наборы единиц векторов нормы 8 расширенного кода Голея образуют систему Штейнера .
Применение
См. также
Примечания
Ссылки
- Pegg, Ed Jr.; Terr, David; and Weisstein, Eric W. Golay Code (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Golay, Marcel J. E. Notes on Digital Coding (англ.) // Proceedings of the IEEE : journal. — 1949. — Vol. 37. — P. 657.
- Curtis, R. T. A new combinatorial approach to M24 (англ.) // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society : journal. — 1976. — Vol. 79. — P. 25—42. — doi:10.1017/S0305004100052075.
- Griess, Robert L. Twelve Sporadic Groups (неопр.). — Springer, 1998. — С. 167. — ISBN 9783540627784.
- Thompson, Thomas M. From Error Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups (англ.). — Mathematical Association of America, 1983. — Vol. 21. — (Carus Mathematical Monographs). — ISBN 9780883850237.