Гипотеза чудовищного вздора

Гипотеза чудовищного вздора^[2] (англ. monstrous moonshine) — доказанная математическая гипотеза, которая неожиданным^[3] образом связывает простую конечную группу-монстра ${\displaystyle M}$ и модулярные функции (в частности, ${\displaystyle j}$-инвариант)^[4].

Первое проявление связи обнаружено в конце 1970-х годов Джоном Маккеем, обратившим внимание на то, что коэффициенты ряда Фурье нормализованного ${\displaystyle j}$-инварианта:

${\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+\cdots }$^[5]

(${\displaystyle \tau }$ — отношение полупериодов, ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$) являются специфическими линейными комбинациями размерностей ${\displaystyle r_{i}}$^[6] неприводимых представлений группы ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}\\&=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_{5}+r_{7}\\&=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\dots \end{aligned}}}$.

Джон Томпсон для объяснения феномена предложил изучить степенные ряды с коэффициентами, являющимися характерами представлений монстра, вычисленными для различных его элементов. В 1979 году Джон Конвей (предложивший термин «чудовищный вздор», впервые узнав о соотношении Маккея) и Саймон Нортон построили такие функции (ряды Маккея — Томпсона), и обнаружили их сходство с главными модулярными функциями, сформулировав содержание гипотезы: каждый ряд Маккея — Томпсона соответствует определённой главной модулярной функции^[7].

В 1992 году гипотеза была доказана учеником Конвея Ричардом Борчердсом, впоследствии получившим Филдсовскую премию, в том числе, за этот результат. Доказательство существенным образом опиралось на свойства некоторой алгебры вершинных операторов (монстр-вершинной алгебры), для которой группа-монстр является группой симметрий, и тем самым обнаружена связь утверждения с теорией струн и конформной теорией поля (основывающихся на алгебрах вершинных операторов).