Можно ли услышать форму барабана?

Аналогичные вопросы можно задать про уравнения Лапласа на областях в старших размерностях, также на римановых многообразиях и для других эллиптических дифференциальных операторов, таких как оператор Коши — Римана или оператор Дирака. Можно накладывать другие граничные условия, в частности условие Неймана.

Почти сразу Джон Милнор построил пару изоспектральных неизометричных 16-мерных торов. Позже подобные примеры были построены во всех размерностях начиная с четырёх. При этом в размерностях 2 и 3 таких примеров не существует. Трёхмерный случай потребовал серьёзных компьютерных вычислений.

Таким образом, «форму плоского тора нельзя услышать полностью в размерностях 4 и выше».

В 1992 году Гордон, Уэбб и Уолперт построили пару неконгруэнтных изоспектральных невыпуклых многоугольников (см. рисунок).

Доказательство того, что оба многоугольника имеют одинаковые собственные значения, использует симметрии и вполне элементарно. Короткое доказательство более общего утверждения приведено в книге Конвея.

Таким образом, «форму барабана нельзя услышать полностью».

Вместе с тем, многие характеристики этой формы восстановимы.

• Согласно формуле Вейля, площадь может быть однозначно восстановлена по спектру.
  • По теореме Иврия тоже верно и для периметров областей с гладкой границей.^[4]
• Если область выпукла, а её граница аналитическая, то спектр позволяет однозначно установить её форму.
  • Вопрос остаётся открытым для невыпуклых областей с аналитической границей.
• Известно, что множество изоспектральных областей компактно в ${\displaystyle C^{\infty }}$-топологии.
• По теореме сравнения Чжэна^[en] сфера является спектрально-жёсткой; то есть, многообразие с тем же спектром, что и у сферы, должно быть ей изометрично.