Выразимость в радикалах

Задача решения в радикалах алгебраических уравнений высших степеней возникла очень давно. Решение задач, приводящихся к частным видам уравнений второй (квадратное уравнение) и третьей степеней (кубическое уравнение), можно найти ещё в древнем Вавилоне (2000 лет до н. э.). Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в книге Диофанта «Арифметика» (3 в. н. э.). Решение в радикалах уравнений третьей (формула Кардано) и четвёртой (метод Феррари) степеней с буквенными коэффициентами были получены итальянскими математиками в XVI веке. В течение почти 300 лет после этого делались безуспешные попытки решить в радикалах уравнения пятой степени и выше. Наконец, в 1824 г. Н. Абель доказал, что общее алгебраическое уравнение пятой степени и выше в радикалах не решается. После этого встал вопрос о необходимых и достаточных условиях, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения, чтобы оно решалось в радикалах, то есть могло быть сведено к цепи двучленных уравнений вида ${\displaystyle x^{n}-a=0}$. Ответ на этот вопрос был найден Э. Галуа: свои результаты он изложил в письме (1832), опубликованном в 1846 году. Так возникла Теория Галуа^[2].

Радикал — математический знак, которым обозначают извлечение корня, то есть решение двучленного алгебраического уравнения вида ${\displaystyle x^{n}-a=0}$. Под символом ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ подразумевается один из корней этого уравнения^[1].

Пусть ${\displaystyle k}$ — произвольное поле. Расширением поля ${\displaystyle k}$ называется любое поле ${\displaystyle K}$, содержащее ${\displaystyle k}$ в качестве подполя. Каждое расширение можно рассматривать как линейное пространство над полем ${\displaystyle k}$; если это пространство имеет конечную размерность ${\displaystyle n}$, то расширение называется конечным, а размерность ${\displaystyle n}$ — степенью расширения. Элемент ${\displaystyle \alpha }$ некоторого расширения поля ${\displaystyle k}$ называется алгебраическим над ${\displaystyle k}$, если он является корнем уравнения ${\displaystyle f=0}$, где ${\displaystyle f}$ — многочлен с коэффициентами из ${\displaystyle k}$ (этот многочлен можно считать неприводимым). Полем разложения неприводимого многочлена ${\displaystyle f}$ называется наименьшее расширение поля ${\displaystyle k}$, содержащее все корни этого многочлена^[2].

Группа Галуа алгебраического уравнения

Галуа связал вопрос о разрешимости в радикалах со свойствами некоторой конечной группы, называемой группой Галуа алгебраического уравнения^[3].

Группой Галуа алгебраического уравнения над полем ${\displaystyle K}$ называется группа Галуа расширения Галуа ${\displaystyle P}$ над полем ${\displaystyle K}$, полученного присоединением к этому полю всех корней данного алгебраического уравнения.

Элемент ${\displaystyle a}$ поля ${\displaystyle F}$ называется выразимым в радикалах над подполем ${\displaystyle G}$ поля ${\displaystyle F}$, если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля ${\displaystyle G}$, значение которого равно ${\displaystyle a}$. В случае, если в поле ${\displaystyle F}$ корень является многозначной функцией, считается достаточным равенство числа ${\displaystyle a}$ хотя бы одному из возможных значений алгебраического выражения.

Иначе говоря, множество выразимых в радикалах чисел состоит из множества значений всех рациональных выражений, частных сумм радикалов от значений рациональных выражений и частных сумм вложенных радикалов от значений рациональных выражений.

Пусть ${\displaystyle G}$ является подполем поля ${\displaystyle F}$. Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей ${\displaystyle G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s}}$, что ${\displaystyle G_{0}=G}$ и ${\displaystyle G_{i}=G_{i-1}(\alpha _{i})}$ для любого ${\displaystyle i}$ от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle s}$, где ${\displaystyle \alpha _{i}}$ — такое число из поля ${\displaystyle F}$, что для некоторого натурального ${\displaystyle n_{i}}$ число ${\displaystyle \alpha _{i}^{n_{i}}}$ принадлежит ${\displaystyle G_{i-1}}$. Число ${\displaystyle a\in F}$ называется выразимым в радикалах над подполем ${\displaystyle G}$ поля ${\displaystyle F}$, если при некотором ${\displaystyle s}$ для него найдутся такие наборы ${\displaystyle \alpha _{i}}$ и ${\displaystyle n_{i}}$, что ${\displaystyle a\in G_{s}}$^[4].

• Действительное число ${\displaystyle x}$ называется выразимым в действительных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ поля действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Корни чётной степени в принимающем значение ${\displaystyle x}$ алгебраическом выражении при этом позволяется брать только из неотрицательных чисел, то есть значение любого подвыражения рассматриваемого выражения должно иметь нулевую мнимую часть.
• Комплексное число ${\displaystyle z}$ (которое может являться и действительным) называется выразимым в комплексных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ поля комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Выразимое в действительных радикалах число всегда является выразимым в комплексных радикалах. Первичное возникновение комплексных чисел в алгебраическом выражении, принимающем значение ${\displaystyle z}$, может происходить только благодаря извлечению корня чётной степени из отрицательных чисел. Для упрощения работы с неоднозначностью корней ${\displaystyle n}$-ой степени в комплексных числах применяются различные методы указания на то, какой из корней является необходимым для получения данного числа: например, комплексные корни из единицы, являющиеся важными константами, пронумерованы явно в порядке против часовой стрелки на стандартной комплексной плоскости, начиная с самой единицы.
• Элемент ${\displaystyle a}$ поля ${\displaystyle F}$ называется выразимым в радикалах степени ${\displaystyle n}$ над подполем ${\displaystyle G}$ поля ${\displaystyle F}$, если некоторое алгебраическое выражение с числами из ${\displaystyle G}$, значение которого равно ${\displaystyle a}$, из возможных корней содержит только корни степени ${\displaystyle n}$. В частности, при ${\displaystyle n=2}$ число ${\displaystyle a}$ называется выразимым в квадратных радикалах, а при ${\displaystyle n=3}$ выразимым в кубических радикалах. Возможны также комбинации: например, числа ${\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt[{3}]{2}}}}}$ и ${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt[{3}]{2}}}$ являются выразимыми в квадратных и кубических радикалах над полем рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Определение, не выходящее за рамки стандартного формального языка, имеет следующий вид: элемент ${\displaystyle a}$ поля ${\displaystyle F}$ называется выразимым в радикалах степени ${\displaystyle n}$ над подполем ${\displaystyle G}$ поля ${\displaystyle F}$, если он выразим в радикалах над полем ${\displaystyle G}$ и все ${\displaystyle n_{i}}$, участвующие в определении выразимости в радикалах для ${\displaystyle a}$, данном выше, равны ${\displaystyle n}$^[4].
• Число, выразимое в действительных квадратных радикалах, называется вещественно построимым^[5].
• Пусть ${\displaystyle K}$ — поле. Тогда поле ${\displaystyle K({\sqrt[{n}]{a}})}$, где ${\displaystyle a\in K}$ и ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\notin K}$, называется радикальным расширением поля ${\displaystyle K}$^[6]. Таким образом, в построенной выше цепочке полей ${\displaystyle G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s}}$ каждое следующее является некоторым радикальным расширением предыдущего. В случае ${\displaystyle n=2}$ указанное поле называется квадратичным расширением поля ${\displaystyle K}$, то есть число, выразимое в квадратных радикалах, принадлежит очередному полю в цепочке квадратичных расширений изначального подполя^[7].
• Число, выразимое в радикалах, называется выразимым за ${\displaystyle n}$ радикалов, если среди всех равных ему алгебраических выражений минимальное количество корней в них равно ${\displaystyle n}$.

Теорема Абеля об алгебраических уравнениях:

Ни для какого ${\displaystyle n}$ большего или равного пяти, нельзя указать формулу, которая выражала бы корни любого уравнения ${\displaystyle n}$-й степени через его коэффициенты при помощи радикалов.

Найдена Н. Абелем в 1824 г.. Эта теорема может быть получена также как следствие теории Галуа, из которой вытекает и более общее утверждение: для любого ${\displaystyle n\geqslant 5}$ существуют алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, корни которых не выражаются через радикалы из рациональных чисел^[8]. Современная формулировка теоремы Абеля:

Пусть ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$ — уравнение степени ${\displaystyle n>4}$ с буквенными коэффициентами ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$.

${\displaystyle K}$ — любое поле и ${\displaystyle P}$ — поле рациональных функций от ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$ с коэффициентами из ${\displaystyle K}$.

Тогда корни данного уравнения (лежащие в некотором расширении поля ${\displaystyle P}$) нельзя выразить через коэффициенты этого уравнения при помощи конечного числа действий сложения, вычитания, умножения, деления (имеющих смысл в поле ${\displaystyle P}$) и знаков корня (имеющих смысл в расширении поля ${\displaystyle P}$).

Иными словами, общее алгебраическое уравнение ${\displaystyle n}$-ной степени при ${\displaystyle n>4}$ неразрешимо в радикалах.

Теорема Абеля не исключает, однако, того, что каждое алгебраическое уравнение с данными числовыми коэффициентами (или коэффициентами из данного поля) решается в радикалах. Уравнения любой степени ${\displaystyle n}$ некоторых частных видов решаются в радикалах (например, двучленные уравнения)^[9].

Формула для отыскания корней кубического уравнения над полем комплексных чисел ${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$^[10].

Метод сведения решения уравнения 4-й степени к решению одного кубического и двух квадратных уравнений^[11].

Основная теорема Галуа теории о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах формулируется следующим образом^[9]:

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — многочлен с коэффициентами из поля ${\displaystyle K}$, неприводимый над ${\displaystyle K}$. Тогда:

1) если хотя бы один корень уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$ выражается в радикалах через коэффициенты этого уравнения, причём показатели радикалов не делятся на характеристику поля ${\displaystyle K}$, то группа Галуа этого уравнения над полем ${\displaystyle K}$ разрешима;

2) обратно, если группа Галуа уравнения ${\displaystyle f(x)=0}$ над полем ${\displaystyle K}$ разрешима, причём характеристика поля ${\displaystyle K}$ или равна нулю, или больше всех порядков композиционных факторов этой группы, то все корни уравнения представляются в радикалах через его коэффициенты, причём все показатели встречающихся радикалов ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ — простые числа, а соответствующие этим радикалам двучленные уравнения ${\displaystyle x^{n}-a=0}$ неприводимы над полями, к которым эти радикалы присоединяются.

Если уравнение решается в радикалах, то у его группы Галуа ${\displaystyle G}$ существует цепочка подгрупп ${\displaystyle G=G_{0}\supset G_{1}\supset ...\supset G_{n}}$, в которой группа ${\displaystyle G_{i+1}}$ является нормальным делителем группы ${\displaystyle G_{i}}$ с разрешимой факторгруппой ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$, а группа ${\displaystyle G_{n}}$ тривиальна. Таким образом, если уравнение решается в радикалах, то его группа Галуа разрешима^[12].

Алгебраическое уравнение над некоторым полем решается в радикалах, если и только если его группа Галуа разрешима.

• Число ${\displaystyle {\sqrt {3+{\sqrt {8}}}}}$ выразимо в действительных квадратных радикалах, то есть вещественно построимо. Одновременно оно выразимо в действительных радикалах любой степени вида ${\displaystyle 2^{n}}$, где ${\displaystyle n}$ — натуральное, так как ${\displaystyle {\sqrt {3+{\sqrt {8}}}}={\sqrt[{2^{n}}]{{\Big (}3+{\sqrt[{2^{n}}]{8^{2^{n-1}}}}{\Big )}^{2^{n-1}}}}}$.
• Число ${\displaystyle {\sqrt {6+{\sqrt {32}}}}+{\sqrt {6-{\sqrt {32}}}}}$ также на первый взгляд кажется выразимым только в радикалах любой степени вида ${\displaystyle 2^{n}}$, однако на самом деле оно выразимо в радикалах любой степени и любого вида, так как ${\displaystyle {\sqrt {6+{\sqrt {32}}}}+{\sqrt {6-{\sqrt {32}}}}=4={\sqrt[{n}]{4^{n}}}}$ для любого ${\displaystyle n}$.
• Число ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {\pi }}}}}$ выразимо в радикалах над подполем ${\displaystyle \mathbb {Q} (\pi )}$ поля ${\displaystyle \mathbb {R} }$, так как единственный корень чётной степени в данном алгебраическом выражении извлекается из неотрицательного числа ${\displaystyle \pi }$, но не выразимо в действительных радикалах, так как ${\displaystyle \pi \notin \mathbb {Q} }$.

Функция ${\displaystyle f}$, принимающая значения в поле ${\displaystyle F}$ и зависящая от некоторого количества параметров, называется выразимой в радикалах над подполем ${\displaystyle G}$ поля ${\displaystyle F}$, если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля ${\displaystyle G}$ и указанные параметры, значение которого совпадает со значением ${\displaystyle f}$ при любых допустимых значениях этих параметров^[13].

• Пусть ${\displaystyle G}$ является подполем поля ${\displaystyle F}$. Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей ${\displaystyle K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{s}}$, элементами которых являются функции из ${\displaystyle F}$ (возможно, без нескольких точек воизбежание деления на ноль) в ${\displaystyle F}$, что ${\displaystyle K_{0}}$ состоит из всех рациональных функций над ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle K_{i}=K_{i-1}(f_{i})}$ для любого ${\displaystyle i}$ от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle s}$, где ${\displaystyle f_{i}}$ — такая непрерывная функция на ${\displaystyle F}$, что для некоторого натурального ${\displaystyle n_{i}}$ функция ${\displaystyle f_{i}^{n_{i}}}$ принадлежит ${\displaystyle K_{i-1}}$. Функция ${\displaystyle f\colon F\to F}$ называется выразимой в радикалах над подполем ${\displaystyle G}$ поля ${\displaystyle F}$, если при некотором ${\displaystyle s}$ для неё найдутся такие наборы ${\displaystyle f_{i}}$ и ${\displaystyle n_{i}}$, что ${\displaystyle f\in K_{s}}$.

• Многозначная функция ${\displaystyle f}$ называется выразимой в радикалах над подполем ${\displaystyle G}$, если все выделяемые из неё однозначные функции также выразимы в радикалах над подполем ${\displaystyle G}$.
• Многочлен от одной переменной, зависящий от некоторого количества параметров (определяющих некоторые его коэффициенты), называется разрешимым в радикалах, если выразима в радикалах непрерывная и, возможно, многозначная функция, сопоставляющая набору значений параметров соответствующий ему набор корней многочлена.
• Алгебраическое уравнение называется разрешимым в радикалах, если разрешим в радикалах многочлен, приравнивающийся к нулю в этом уравнении^[7].
• К функциям и многочленам применимы все ограничения определения выразимости и разрешимости в радикалах соответственно, указанные выше. Например, функция ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, определённая как ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x-{\sqrt {x}}}}}$ на всей действительной прямой, выразима в квадратных комплексных радикалах.

• Многозначная функция ${\displaystyle f(x)\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$, ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}}$ выразима в радикалах, так как все шесть выделяемых из неё однозначных функций ${\displaystyle g(x)}$ удовлетворяют условию ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}}$, где ${\displaystyle {\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}}$ — алгебраическое выражение, использующее только переменную, выступающую в качестве аргумента функции, и комплексные числа.
• Многочлен ${\displaystyle x^{5}+2ax^{3}+a^{2}x}$ разрешим в комплексных квадратных радикалах, так как при любом ${\displaystyle a}$ его корни задаются функцией ${\displaystyle x\mapsto 0,{\sqrt {-a}},-{\sqrt {-a}}}$. Однако разрешимым в действительных радикалах этот многочлен может являться только при том ограничении, что число ${\displaystyle a}$ принадлежит множеству неположительных чисел.

• В случае с комплексной функцией без уточнения подполя ${\displaystyle G}$ оно обычно подразумевается равным тому же множеству комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Важно отметить тот факт, что выразимость в радикалах функции и выразимость в радикалах образа каждого элемента при её применении не равносильны: к примеру, удовлетворяющая второму условию функция на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ может не быть непрерывной, в то время как для удовлетворяющей первому условию это требование обязательно.

• Множества выразимых в радикалах чисел и выразимых в радикалах функций являются полями, содержащими поля, над которыми они выразимы в радикалах, в качестве подполей.
• Любое выразимое в радикалах комплексное число является алгебраическим, однако не любое алгебраическое число выразимо в радикалах. Первое утверждение следует из алгебраичности рациональных чисел и из того, что множество алгебраических чисел является полем (на каждом шаге перехода от ${\displaystyle G_{i-1}}$ к ${\displaystyle G_{i}}$ в определении выразимого в радикалах числа алгебраические числа порождают только алгебраические). Второе утверждение следует из нижеследующей теоремы о существовании уравнения ${\displaystyle 5}$ степени с целыми коэффициентами, хотя бы один из корней которого невыразим в радикалах. Точно также, любая выразимая в радикалах функция является алгебраической, в то время как не всякая алгебраическая функция выразима в радикалах. Иными словами, поле алгебраических чисел содержит поле чисел, выразимых в радикалах, а поле алгебраических функций содержит поле функций, выразимых в радикалах, однако обратные утверждения неверны.
• Любая выразимая в радикалах функция переводит множества чисел, выразимых в радикалах, алгебраических чисел и трансцендентных чисел над тем же полем внутрь них самих. В случае, если аргумент многозначной выразимой в радикалах функции целиком состоит из чисел одного из этих множеств, образ также попадает в него. Однако только последние два множества всегда целиком являются образами себя. Получить выразимое в радикалах число, получаемое при применении выразимой в радикалах функции только к невыразимым в радикалах числам, можно следующим образом: возьмём многочлен ${\displaystyle 5}$ степени с целыми коэффициентами, ни один из корней которого не выразим в радикалах и свободный член которого не равен нулю (по теореме Кронекера, описанной ниже, в качестве такого многочлена может подойти, к примеру, ${\displaystyle x^{5}-4x+2}$). Тогда функция, заданная таким многочленом без свободного члена, принимает равное ему значение только в корнях этого многочлена, невыразимых в радикалах, в то время как сам свободный член является целым числом и, очевидно, выражается в любых радикалах^[5].

Разрешимость уравнений в радикалах тесно связана с вопросом о геометрических построениях с помощью циркуля и линейки, в частности задача о делении окружности на ${\displaystyle n}$ равных частей^[14].

При наличии на плоскости отрезка длины ${\displaystyle 1}$ отрезок длины ${\displaystyle x}$ может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число ${\displaystyle x}$ является выразимым в квадратных действительных радикалах^[5]. Отсюда следует невозможность квадратуры круга и удвоения куба циркулем и линейкой, поскольку в итоге будут получены непостроимые вещественно числа ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ и ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ соответственно. В более общем виде данная теорема звучит так: при данных отрезках длин ${\displaystyle a_{1},a_{1},\dots ,a_{n}}$ отрезок длины ${\displaystyle a}$ можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} (a_{1},a_{1},\dots ,a_{n})}$^[4].

Круговой многочлен, имеющий вид ${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{k}(x-\varphi _{k})}$, где ${\displaystyle \varphi _{k}}$ — первообразные корни степени ${\displaystyle n}$ из единицы и произведение берётся по всем натуральным числам ${\displaystyle k}$, взаимно простым с ${\displaystyle n}$ и взятым из ряда ${\displaystyle 1,2,\dots ,n}$, называется многочленом деления круга.

Уравнение ${\displaystyle \Phi _{n}(x)=0}$, дающее все первообразные корни ${\displaystyle n}$-й степени из единицы, называется уравнением деления круга (окружности). Решение этого уравнения в тригонометрической форме имеет вид:

${\displaystyle r_{k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}=e^{2k\pi i/n}}$, где дробь ${\displaystyle k/n}$ несократима, то есть ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle n}$ взаимно просты.

Решение в радикалах уравнения деления круга тесно связано с задачей построения правильного ${\displaystyle n}$-угольника или с эквивалентной ей задачей деления окружности на ${\displaystyle n}$ равных частей, а именно, задача деления окружности на ${\displaystyle n}$ частей решается с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда уравнение ${\displaystyle \Phi _{n}(x)=0}$ решается в квадратных радикалах.

К. Гаусс (1801 г.) доказал, что уравнение ${\displaystyle \Phi _{n}(x)=0}$ решается в квадратных радикалах в том и только в том случае, когда ${\displaystyle n=2^{m}p_{1}p_{2}\dots p_{s}}$, где ${\displaystyle m}$ — целое неотрицательное число и ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{s}}$ — попарно различные простые числа, представимые в виде ${\displaystyle 2^{2k}+1}$ с целым неотрицательным ${\displaystyle k}$^[15]. Из данной теоремы, в частности, следует, что число ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{9}}{\Big )}}$ не является вещественно построимым, то есть провести циркулем и линейкой трисекцию угла ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{3}}{\Big )}}$, а значит, и произвольного угла, невозможно. Аналогичным образом доказывается невозможность разбиения произвольного угла на любое количество равных частей, не являющееся степенью двойки.

Список алгебраических выражений для тригонометрических функций некоторых углов приведён в статье Тригонометрические константы. Побочный результат рассмотренной теоремы состоит в том, что значения тригонометрических функций в угле, составляющем целое число градусов, выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда это число делится на ${\displaystyle 3}$^[5].

Несмотря на указанные выше факты, косинус любого угла, кратного ${\displaystyle \pi \,({\text{рад}})}$, выразим в комплексных радикалах, так как ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{\Big (}u_{2}+{\frac {1}{u_{2}}}{\Big )}}$, где ${\displaystyle u_{2}}$ — второй в стандартной нумерации корень из единицы после самой единицы, а число ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi m}{n}}{\Big )}}$ выражается через ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}}$ или ${\displaystyle \sin {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}{\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}}}}$ при помощи многочленов Чебышёва. Однако даже в тех случаях, когда косинус данного угла выразим только в комплексных радикалах произвольной степени, но не в квадратных действительных, минимальная степень радикалов соответствующего выражения не обязательно равна ${\displaystyle n}$: например, ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{7}}{\Big )}={\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)}$, то есть это число выразимо в квадратных и кубических радикалах (в данном случае для получения верного значения среди возможных девяти следует взять значения кубических корней с наибольшей действительной частью)^[7].

• Производная функции, выражающейся в радикалах, также выражается в радикалах, поскольку производные всех допустимых в алгебраических выражениях арифметических операций, применённых к функциям, являются алгебраическими выражениями, использующими только значения этих функций и, в случае с корнем, его степень, в качестве переменных:

${\displaystyle \left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'}$

${\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'}$

${\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}'={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}}$

• Однако обратное неверно: например, производные обратных тригонометрических функций выразимы в радикалах над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, в то время как сами обратные тригонометрические функции являются трансцендентными функциями, то есть не являются алгебраическими (а любая выразимая в радикалах функция, как уже было сказано выше, является алгебраической):

${\displaystyle \arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

${\displaystyle \arccos '(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} '(x)={\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.}$

${\displaystyle \operatorname {arcctg} '(x)=-{\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.}$

• Теорема Кронекера: хотя бы один из корней неприводимого в рациональных числах уравнения простой степени ${\displaystyle n}$ с целыми коэффициентами выразим в радикалах как число только в том случае, если среди них ровно один или ровно ${\displaystyle n}$ действительных^[5]. Из этого путём построения неприводимого многочлена ${\displaystyle 5}$ степени с целыми коэффициентами и тремя действительными корнями (примером такого многочлена может служить ${\displaystyle x^{5}-4x-2}$) мгновенно выводится частный случай следующей теоремы для поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• Однако уравнения с целыми коэффициентами степени до ${\displaystyle 4}$ включительно разрешимы (см. Линейное уравнение, Квадратное уравнение, Кубическое уравнение, Уравнение четвёртой степени). При этом линейные уравнения разрешимы и без использования радикалов, квадратные — только с использованием квадратных радикалов (а при действительных корнях ещё и действительных), кубические и четвёртой степени — только с использованием действительных квадратных и комплексных кубических радикалов^[5].

• Уравнения более узкого класса, называемые возвратными, разрешимы в радикалах вплоть до ${\displaystyle 9}$ степени включительно. Возвратные многочлены нечётной степени ${\displaystyle 2n+1}$ имеют вид ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))}$ и представляются в виде произведения скобки ${\displaystyle (x+\lambda )}$ и некоторого возвратного же уравнения чётной степени, а оно, в свою очередь, выглядит следующим образом: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda ^{k}))}$ и может быть при ${\displaystyle x\neq 0\Leftrightarrow \lambda ,a_{0}\neq 0}$ записано в виде ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{n-k}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}}$, что при откидывании первого множителя может быть преобразовано в многочлен относительно ${\displaystyle {\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}}$ степени ${\displaystyle n}$. По приведённой выше теореме Абеля-Руффини такое уравнение разрешимо в радикалах вплоть до ${\displaystyle n=4}$, следовательно, возвратное уравнение разрешимо в радикалах вплоть до степени ${\displaystyle 2\cdot 4+1=9}$^[16].