Шён, Ричард

В 1976 году Шён и Яу Шинтун использовали теоремы Лиувилля, ранее доказанные Яу, для распространения явлений жёсткости, обнаруженных Джеймсом Иллсом и Джозефом Сэмпсоном, на некомпактные случаи^[23][24]. Выявив определённое взаимодействие тождества Бохнера для гармонических отображений с формулой второй вариации площади для минимальных гиперповерхностей, они также определили новые условия на область определения, ведущие к тому же выводу. Эти теоремы жёсткости дополняются их теоремой существования гармонических отображений на некомпактных областях, которая является простым следствием решения краевой задачи Дирихле Ричардом Гамильтоном^[25]. В результате они получили геометрические результаты, например, что некоторые некомпактные многообразия не допускают полных метрик с неотрицательной кривизной Риччи.

В двух статьях 1980-х годов Шён и Карен Уленбек внесли фундаментальный вклад в теорию регулярности минимизирующих энергию гармонических отображений. Разработанные ими методы, широко использующие формулы монотонности, оказали влияние на геометрический анализ и были адаптированы для ряда других задач. Их фундаментальные выводы включают теоремы компактности для множеств гармонических отображений и контроль над размером соответствующих сингулярных множеств. Леон Саймон применил эти результаты для получения чёткой картины мелкомасштабной геометрии минимизирующих энергию гармонических отображений^[26].

Позже Михаил Громов предположил, что расширение теории гармонических отображений, допускающее значения в метрических пространствах, а не в римановых многообразиях, будет иметь ряд важных приложений, а аналоги классической теоремы жёсткости Иллса-Сэмпсона дадут новые теоремы жёсткости для решёток. Интенсивные аналитические детали такой теории были разработаны Шёном. Дальнейшие основы этого нового контекста для гармонических отображений были заложены Шёном и Николасом Коревааром.

В 1979 году Шён и его бывший научный руководитель Яу Шинтун внесли вклад в изучение положительной скалярной кривизны. С помощью элементарной, но новой комбинации уравнения Гаусса, формулы для второй вариации площади и теоремы Гаусса — Бонне, Шён и Яу смогли исключить существование нескольких типов стабильных минимальных поверхностей в трёхмерных многообразиях с положительной скалярной кривизной. Сопоставив этот результат со своей аналитически глубокой теоремой, устанавливающей существование таких поверхностей, они смогли получить ограничения на то, какие многообразия могут допускать метрику с положительной скалярной кривизной. Шён и Дорис Фишер-Колбри позже предприняли более широкое исследование стабильных минимальных поверхностей в трёхмерных многообразиях, используя анализ оператора устойчивости и его спектральных свойств.

Индуктивный аргумент, основанный на существовании стабильных минимальных гиперповерхностей, позволил им распространить свои результаты на более высокие размерности. Дальнейшие аналитические методы способствовали применению топологических перестроек на многообразиях, допускающих метрики с положительной скалярной кривизной, показав, что класс таких многообразий топологически богат. Михаил Громов и Блейн Лоусон получили аналогичные результаты другими методами, также предприняв более глубокий анализ топологических последствий^[27][28].

Расширив свои методы на некомпактные многообразия, Шён и Яу смогли решить важный риманов случай теоремы о положительной массе в общей теории относительности, который можно рассматривать как утверждение о геометрическом поведении вблизи бесконечности некомпактных многообразий с положительной скалярной кривизной. Как и их первоначальные результаты, аргумент основан на противоречии. Более конструктивный аргумент, использующий теорию гармонических спиноров вместо минимальных гиперповерхностей, был позже найден Эдвардом Виттеном^[29][30][31].

Шён, Яу и Леон Саймон определили простую комбинацию формулы Саймонса с формулой для второй вариации площади, которая даёт важные оценки кривизны для стабильных минимальных гиперповерхностей малых размерностей. В 1983 году Шён получил аналогичные оценки в частном случае двумерных поверхностей, используя существование изотермических координат. Несколько более слабые оценки были получены Шёном и Саймоном, хотя и без каких-либо ограничений на размерность. Фундаментальные следствия оценок Шёна-Саймона включают теоремы компактности для стабильных минимальных гиперповерхностей, а также контроль над размером «сингулярных множеств». В частности, оценки Шёна-Саймона являются важным инструментом в теории минимакса Альмгрена — Питтса, которая нашла ряд применений.

Возможное присутствие сингулярных множеств ограничивает размерности, в которых индуктивные аргументы Шёна и Яу могут быть легко применены. Между тем, существенное использование спиноров Виттеном ограничивает его результаты топологически особыми случаями. Таким образом, общий случай теоремы о положительной массе в высших размерностях оставался крупной открытой проблемой в работе Шёна и Яу 1979 года. В 1988 году они решили проблему в произвольной размерности в частном случае, когда тензор Вейля равен нулю; это имело значение в конформной геометрии. В 2017 году они выпустили препринт, в котором утверждается общий случай, в котором они непосредственно работают с сингулярными множествами минимальных гиперповерхностей.

В 1960 году Хидэхико Ямабэ ввёл «функционал Ямабе» на конформном классе римановых метрик и продемонстрировал, что критическая точка будет иметь постоянную скалярную кривизну^[32]. Он добился частичного прогресса в доказательстве того, что критические точки должны существовать, что было продолжено Нилом Трудингером и Тьерри Обеном^[33][34]. Работа Обена, в частности, решила случаи высокой размерности или когда существует точка, где тензор Вейля не равен нулю. В 1984 году Шён решил случаи, оставленные открытыми работой Обена, решающим моментом которой было масштабирование метрики с помощью функции Грина оператора Лапласа — Бельтрами. Это позволило применить теорему Шёна и Яу о положительной массе к полученной метрике, дав важную асимптотическую информацию об исходной метрике. Работы Ямабе, Трудингера, Обена и Шёна вместе составляют решение проблемы Ямабе, которая утверждает, что в каждом конформном классе существует метрика постоянной скалярной кривизны.

В 1989 году Шён также смог адаптировать анализ пузырей Карен Уленбек, разработанный для других геометрико-аналитических задач, к условиям постоянной скалярной кривизны^[35][36]. Уникальность критических точек функционала Ямабе и, в более общем смысле, компактность множества всех критических точек — тонкий вопрос, впервые исследованный Шёном в 1991 году. Более полные результаты были позже получены Саймоном Брендле, Маркусом Хури, Фернанду Кода Маркишем и Шёном.

В 1980-х годах Ричард Гамильтон ввёл поток Риччи и доказал ряд результатов о сходимости, в первую очередь для двумерных и трёхмерных пространств^[37][38]. Хотя он и другие исследователи получили частичные результаты в высоких размерностях, прогресс был затруднён сложностью понимания сложного тензора кривизны Римана^[39]. Саймон Брендле и Шён смогли доказать, что положительность «изотропной кривизны» Марио Микаллефа и Джона Мура сохраняется потоком Риччи в любой размерности, факт, независимо доказанный Хюи Нгуеном^[40][41]. Брендле и Шён смогли связать своё условие положительности с положительностью секционной кривизны и оператора кривизны, что позволило им использовать алгебраические идеи Кристофа Бёма и Буркхарда Уилкинга, получив тем самым новую теорему сходимости для потока Риччи^[42]. Частным случаем их теоремы сходимости является теорема о дифференцируемой сфере, которая была известной гипотезой в изучении положительной секционной кривизны на протяжении последних пятидесяти лет.