Флоер, Андреас
Андреас Флоер, или Андреас Флёр (нем. Andreas Floer; 23 августа 1956, Дуйсбург, Дюссельдорф, Северный Рейн-Вестфалия, ФРГ — 15 мая 1991, Бохум, Арнсберг, Северный Рейн-Вестфалия, Германия), — германский математик, внёсший плодотворный вклад в геометрию, топологию и математическую физику, в частности, придумавший гомологии Флоера[2][3].
Общие сведения
| Андреас Флоер | |
|---|---|
| Andreas Floer | |
| Дата рождения | 23 августа 1956[1] |
| Место рождения | |
| Дата смерти | 15 мая 1991[1] (34 года) |
| Место смерти | |
| Страна | Германия |
| Научная сфера | математика |
| Место работы |
Рурский университет Калифорнийский университет в Беркли |
| Образование |
Рурский университет Калифорнийский университет в Беркли |
| Учёная степень | доктор естественных наук |
| Учёное звание | профессор |
| Научный руководитель |
Эдуард Цендер Ральф Штёкер |
| Известен как | гомологии Флоера |
| Награды и премии | Стипендия Слоуна (1989) |
Биография
Флоер учился в Рурском университете в Бохуме с 1975 по 1982 год и получил диплом по математике (нем. Diplom-Mathematiker) в 1982 году. Осенью 1982 года он поступил в аспирантуру Калифорнийский университет в Беркли, где до лета 1984 года работал над диссертацией по изучению монополей на трёхмерных многообразиях под руководством Клиффорда Таубса и Алана Вайнштейна. Он не завершил работу в Беркли, так как был вынужден вернуться в Германию для прохождения обязательной альтернативной службы. Вернувшись в Бохум, он получил учёную степень доктора естественных наук (нем. Dr. rer. nat.) в декабре 1984 года под руководством Эдуарда Цендера[4].
Первым поворотным результатом Флоера было решение специального случая гипотезы Арнольда о неподвижных точках симплектоморфизма. Из-за своей работы над гипотезой Арнольда и его развитие инстантонных гомологий, он получил широкую известность и был приглашён как пленарный докладчик на Международный математический конгресс в Киото в августе 1990 года. Он получил слоановскую стипендию в 1989 году.
В 1988 году он стал ассистент-профессором (англ. Assistant Professor) в Калифорнийском университете в Беркли, а в 1990 году был повышен до звания полного профессора математики[5]. Осенью 1990 года Флоер принял предложение от Рурского университета и занял там должность профессора, взяв при этом официальный отпуск в Беркли на 1990—1991 учебный год[6][7]. Он работал в Бохуме вплоть до своего самоубийства в 1991 году. Из-за короткой научной карьеры у Флоера не было учеников, защитивших под его руководством диссертацию[7].
Память и влияние
Развитие теории Флоера
После смерти Флоера в 1991 году его идеи стали катализатором для развития симплектической геометрии и маломерной топологии. В 1995 году был издан «Мемориальный сборник Флоера» (англ. The Floer Memorial Volume), отредактированный Хельмутом Хофером, Клиффордом Таубсом, Аланом Вайнштейном и Эдуардом Цендером. В него вошли неопубликованные работы Флоера и статьи-посвящения от ведущих математиков, включая Саймона Дональдсона и Майкла Атьи, что закрепило его наследие[8]. Дональдсон, чьи работы были тесно связаны с идеями Флоера, назвал гомологии Флоера одним из самых ярких достижений в дифференциальной геометрии и в 2002 году опубликовал книгу «Группы гомологий Флоера в теории Янга — Миллса». В начале 2000-х годов произошёл прорыв, который считается «второй волной» развития теории. Петер Ожват и Золтан Сабо представили новую, более вычислимую версию — гомологии Хегора — Флоера. Эта теория позволила определить новые инварианты для трёхмерных многообразий и узлов, что привело к решению ряда классических задач, включая доказательство гипотезы Милнора о 4-роде торических узлов и новое доказательство «свойства P» для узлов[9]. Практически одновременно Джейкоб Расмуссен независимо разработал гомологии Флоера для узлов (англ. Knot Floer Homology)[10].
В 2007 году вклад в развитие идей Флоера был отмечен премией Веблена, присуждённой двум группам исследователей: Питеру Кронхаймеру и Томашу Мровке, а также Петеру Ожвату и Золтану Сабо[11]. В этот период теория Флоера стала основой для ряда фундаментальных результатов. В 2013 году Чиприан Манолеску опроверг вековую гипотезу о триангуляции, доказав существование топологических многообразий размерности 5 и выше, которые невозможно разбить на симплициальные комплексы. Для доказательства он использовал вариант гомологий Флоера — Pin(2)-эквивариантные гомологии Зейберга — Виттена[12][13]. Примерно в 2008 году Ожват и Сабо расширили свою теорию, создав «граничные гомологии Флоера» (англ. bordered Floer homology), что позволило применять её к многообразиям с краем и вычислять инварианты сложных объектов путём их склеивания из простых частей[14][15]. Теории Флоера стали активно использоваться для классификации узлов, например, для определения, является ли узел «расслоённым»[16].
В период после 2017 года исследования были сосредоточены на повышении вычислительной эффективности гомологий Флоера и поиске новых приложений. Были разработаны новые инструменты, такие как «техника погружённых кривых» (англ. immersed curve technique) в рамках граничных гомологий Хегора — Флоера, что позволило решать более сложные задачи по классификации узлов и многообразий[17]. Исследовательские проекты, такие как MM-CAHF (2021—2023), установили новые связи между гомологиями Флоера узлов и другими топологическими инвариантами[18].
Увековечение памяти
В 1992 году была учреждена Мемориальная лекция Андреаса Флоера (англ. Andreas Floer Memorial Lecture). Она проводится ежегодно в рамках Семинара по симплектической геометрии Северной Калифорнии и поочерёдно принимается Стэнфордским университетом и Калифорнийским университетом в Беркли[19].
В Рурском университете в Бохуме, где Флоер получил докторскую степень и работал в последний год жизни, был создан Центр геометрии имени Андреаса Флоера (нем. Floer Zentrum für Geometrie). В рамках центра проводятся регулярные «Лекции Флоера» (англ. Floer Lectures), на которые приглашаются ведущие мировые математики.
Цитаты
«Жизнь Андреаса Флоера была трагически прервана, но его математические воззрения и поразительный вклад дали мощные методы, которые применяются к задачам, которые казались очень тяжёлыми ещё несколько лет назад».[1]
Саймон Дональдсон писал: «Концепция гомологий Флоера — одно из самых поразительных продвижений в дифференциальной геометрии за последние 20 лет. … Его идеи привели к прогрессу в областях маломерной топологии и симплектической геометрии и тесно связаны с развитием квантовой теории поля».[2] и «подлинное богатство теории Флоера только начинается исследоваться».[3]
«С момента своего создания Андреасом Флоером в конце 1980-х, теория Флоера имела громадное влияние на многие ветви математики включая геометрию, топологию и динамические системы. Развитие новых инструментов теории Флоера продолжается в заметном темпе и лежит в основе недавних прорывов в этих разнообразных областях».[4]
Избранные публикации
- Floer, Andreas. An instanton-invariant for 3-manifolds. Comm. Math. Phys. 118 (1988), no. 2, 215—240. Project Euclid
- Floer, Andreas. Morse theory for Lagrangian intersections. J. Differential Geom. 28 (1988), no. 3, 513—547.
- Floer, Andreas. Cuplength estimates on Lagrangian intersections. Comm. Pure Appl. Math. 42 (1989), no. 4, 335—356.
Посмертные публикации
- Hofer, Helmut. Coherent orientation for periodic orbit problems in symplectic geometry (jointly with A. Floer) Math. Zeit. 212, 13-38, 1993.
- Hofer, Helmut. Symplectic homology I: Open sets in C^n (jointly with A. Floer) Math. Zeit. 215, 37-88, 1994.
- Hofer, Helmut. Applications of symplectic homology I (jointly with A. Floer and K. Wysocki) Math. Zeit. 217, 577—606, 1994.
- Hofer, Helmut. Symplectic homology II: A General Construction (jointly with K. Cieliebak and A. Floer) Math. Zeit. 218, 103—122, 1995.
- Hofer, Helmut. Transversality results in the elliptic Morse theory of the action functional (jointly with A. Floer and D. Salamon) Duke Mathematical Journal, Vol. 80 No. 1, 251—292, 1995. Download from H. Hofer’s homepage at NYU
- Hofer, Helmut. Applications of symplectic homology II (jointly with K. Cieliebak, A. Floer and K. Wysocki) Math. Zeit. 223, 27-45, 1996.
См. также
- Simon Donaldson, On the work of Andreas Floer, Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 95 (3) (1993), 103—120.
- The Floer Memorial Volume (H. Hofer, C. Taubes, A. Weinstein, and E. Zehnder, eds.), Progress in Mathematics, vol. 133, Birkhauser Verlag, 1995.
- Simon Donaldson, Floer Homology Groups in Yang-Mills Theory, With the assistance of M. Furuta and D. Kotschick. Cambridge Tracts in Mathematics, 147. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. viii+236 pp. ISBN 0-521-80803-0
Примечания
- ↑ Hofer, Weinstein, and Zehnder, Andreas Floer: 1956—1991, Notices Amer. Math. Soc. 38 (8), 910—911
- ↑ Simon Donaldson, Floer Homology Groups in Yang-Mills Theory, With the assistance of M. Furuta and D. Kotschick. Cambridge Tracts in Mathematics, 147. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. viii+236 pp. ISBN 0-521-80803-0 (The above citation is from the front flap.)
- ↑ Mathematics: frontiers and perspectives. Edited by V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax and B. Mazur. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. xii+459 pp. ISBN 0-8218-2070-2 (Amazon search)
- ↑ From the Press Release to the Workshop New Applications and Generalizations of Floer Theory of the Banff International Research Station (BIRS), May 2007 ([5])
Ссылки
- Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Флоер, Андреас (англ.) — биография в архиве MacTutor.
- The In Memoriam website of the Department of Mathematics at the University of California, Berkeley
- The In Memoriam website of the University of California, Berkeley
- Elaborate obituary by Addison/Casson/Weinstein at OAC, Online Archive of California, 1992
- For images, see Wikimedia Commons Category:Andreas Floer and [ a public Andreas Floer photo album on Facebook]
- Video of Andreas Floer giving a lecture on the Arnold Conjecture, Stony Brook 1986
- Introduction to Floer Theory. Lecture by Dusa McDuff 2010
- Introduction to Floer Theory? at mathoverflow.net
