Универсальное свойство

Пусть F — функтор из категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в категорию множеств; пара (A, θ), где A — объект ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, а ${\displaystyle \theta \in F(A)}$, называется «решением универсальной задачи, поставленной F», если выполняется следующее универсальное свойство:

Для любого объекта X из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и любого элемента f из ${\displaystyle F(X)}$ существует единственный морфизм g : A \to X такой, что

${\displaystyle F(g)(\theta )=f}$.

Функтор F называется функтором, ассоциированным с универсальным свойством.

Если существует решение (A, θ) универсальной задачи, поставленной F, то универсальное свойство утверждает, что для любого объекта X отображение ${\displaystyle \eta _{X}:g\in \mathrm {Hom} (A,X)\to f=F(g)(\theta )\in F(X)}$ является биекцией между множеством морфизмов \mathrm{Hom}(A,X) из A в X и множеством F(X). ${\displaystyle \eta }$ — это естественный изоморфизм между представимым функтором, определённым объектом A, и функтором F. Связь между элементом θ из F(A) и этим естественным изоморфизмом задаётся леммой Йонеды.

Решение универсальной задачи, если оно существует, единственно с точностью до изоморфизма (обязательно единствененного).

Пусть (A, θ) — решение задачи, поставленной функтором F. Если взять (X, f) = (A, θ), то существует единственный морфизм g : A \to A такой, что F(g)(θ) = θ. Так как g = \mathrm{id}_A удовлетворяет этому свойству, то единственность решения доказывает, что для любого морфизма g : A \to A равенство F(g)(θ) = θ влечёт g = \mathrm{id}_A.

Пусть теперь (B, φ) — другое решение задачи, поставленной F. Так как (A, θ) — решение, то для (X, f) = (B, φ) существует морфизм g : A \to B такой, что F(g)(θ) = φ. Аналогично, так как (B, φ) — решение, для (X, f) = (A, θ) существует морфизм h : B \to A такой, что F(h)(φ) = θ. Тогда F(hg)(θ) = θ, значит, hg = \mathrm{id}_A. Аналогично, F(gh)(φ) = φ, значит, gh = \mathrm{id}_B. Следовательно, g и h — изоморфизмы; применяя тот же рассуждение к другому изоморфизму g’, получаем hg = hg’, значит, g = g’.

Свойство единственности является достаточно жёстким условием существования решения: универсальная задача об расширении поля K до алгебраически замкнутого поля не имеет решения в общем случае, даже если ограничиться алгебраическими расширениями, поскольку существуют нетривиальные автоморфизмы алгебраического замыкания K (например, комплексное сопряжение).

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория множеств. Пусть E — множество с отношением эквивалентности ≡. Пусть F — функтор, который каждому множеству X из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ сопоставляет ${\displaystyle F(X)=\{f:E\to X\mid \forall x,y\in E,x\equiv y\Rightarrow f(x)=f(y)\}}$, то есть множество отображений из E в X, согласованных с отношением эквивалентности на E. Для любого отображения ${\displaystyle h:X\to Y}$ определим F(h) как отображение из F(X) в F(Y), заданное правилом: ${\displaystyle \forall f\in F(X),\ F(h)(f)=h\circ f}$.

Решение универсальной задачи для F состоит в паре ${\displaystyle ({\overline {E}},\pi )}$ такой, что для любого множества X и любого отображения f из F(X) (то есть любого отображения из E в X, согласованного с отношением эквивалентности), существует единственное отображение ${\displaystyle {\overline {f}}}$ из ${\displaystyle {\overline {E}}}$ в X такое, что ${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \pi }$. Это и есть каноническая факторизация отображения f через фактор-множество ${\displaystyle {\overline {E}}=E/\equiv }$. Для любого класса эквивалентности ${\displaystyle {\overline {x}}}$ значение ${\displaystyle {\overline {f}}({\overline {x}})}$ по определению равно ${\displaystyle f(x)}$, где x — представитель класса ${\displaystyle {\overline {x}}}$; значение ${\displaystyle f(x)}$ не зависит от выбора представителя благодаря согласованности f с отношением эквивалентности на E.

${\displaystyle {\begin{matrix}E&{\xrightarrow {f}}&X\\\pi \downarrow &\nearrow {\overline {f}}\\{\overline {E}}\end{matrix}}}$

Аналогично строятся фактор-структуры: фактор-магмы, фактор-группы, фактор-кольца, фактор-модули, фактор-пространства, и др.

В категории групп множество E — группа G. Требуется, чтобы фактор-множество, решение в категории множеств, было группой, а каноническая проекция — гомоморфизм групп. Это возможно тогда и только тогда, когда отношение эквивалентности ≡ согласовано с групповой операцией в G. В этом случае класс нейтрального элемента образует нормальную подгруппу H в G, и x ≡ y тогда и только тогда, когда xH = yH. Гомоморфизм f из G в группу X согласован с ≡ тогда и только тогда, когда H содержится в ядре ker(f).

Универсальное свойство фактор-группы формулируется так: для любой группы X и любого гомоморфизма ${\displaystyle f:G\to X}$ такого, что ${\displaystyle H\subset \ker(f)}$, существует единственный гомоморфизм ${\displaystyle {\overline {f}}:G/H\to X}$ такой, что ${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \pi }$, где ${\displaystyle \pi }$ — каноническая сюръекция. Получаем коммутативную диаграмму:

${\displaystyle {\begin{matrix}G&{\xrightarrow {f}}&X\\\pi \downarrow &\nearrow {\overline {f}}\\G/H\end{matrix}}}$

В категории модулей над кольцом A множество E — модуль M. Отношение эквивалентности согласовано с операциями модуля тогда и только тогда, когда класс нулевого элемента — подмодуль N в M. Гомоморфизм f из M в модуль X согласован с ≡ тогда и только тогда, когда N содержится в ядре ker(f).

Универсальное свойство фактор-модуля: для любого модуля X и любого гомоморфизма ${\displaystyle f:M\to X}$ такого, что ${\displaystyle N\subset \ker(f)}$, существует единственный гомоморфизм ${\displaystyle {\overline {f}}:M/N\to X}$ такой, что ${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \pi }$, где ${\displaystyle \pi }$ — каноническая сюръекция. Получаем коммутативную диаграмму:

${\displaystyle {\begin{matrix}M&{\xrightarrow {f}}&X\\\pi \downarrow &\nearrow {\overline {f}}\\M/N\end{matrix}}}$

Аналогично в категории колец. Множество E — кольцо A. Отношение эквивалентности согласовано с операциями кольца тогда и только тогда, когда класс нулевого элемента — двусторонний идеал I в A. Гомоморфизм f из A в кольцо X согласован с ≡ тогда и только тогда, когда I содержится в ядре ker(f).

Универсальное свойство фактор-кольца: для любого кольца X и любого гомоморфизма ${\displaystyle f:A\to X}$ такого, что ${\displaystyle I\subset \ker(f)}$, существует единственный гомоморфизм колец ${\displaystyle {\overline {f}}:A/I\to X}$ такой, что ${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \pi }$, где ${\displaystyle \pi }$ — каноническая сюръекция. Получаем коммутативную диаграмму:

${\displaystyle {\begin{matrix}A&{\xrightarrow {f}}&X\\\pi \downarrow &\nearrow {\overline {f}}\\A/I\end{matrix}}}$

Аналогично в категории топологических пространств. Множество E — топологическое пространство с отношением эквивалентности. Морфизмы в этой категории — непрерывные отображения, согласованные с отношением эквивалентности на E.

Универсальное свойство фактор-топологии: для любого топологического пространства X и любого непрерывного отображения ${\displaystyle f:E\to X}$, согласованного с отношением эквивалентности на E, существует единственное непрерывное отображение ${\displaystyle {\overline {f}}:E/\equiv \to X}$ такое, что ${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \pi }$, где ${\displaystyle \pi }$ — каноническая сюръекция. Получаем коммутативную диаграмму:

${\displaystyle {\begin{matrix}E&{\xrightarrow {f}}&X\\\pi \downarrow &\nearrow {\overline {f}}\\E/\equiv \end{matrix}}}$

Решение этой задачи состоит в наделении фактор-пространства ${\displaystyle E/\equiv }$ фактор-топологией.

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория, а ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ — семейство объектов в этой категории. Определим функтор F, который каждому объекту X из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ сопоставляет ${\displaystyle F(X)=\{(f_{i})_{i\in I},\ f_{i}:A_{i}\to X\}}$, то есть семейство морфизмов из ${\displaystyle A_{i}}$ в X. Для любого морфизма ${\displaystyle h:X\to Y}$ функтор F(h) действует как ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}\mapsto (h\circ f_{i})_{i\in I}}$.

Решение универсальной задачи для F — это пара ${\displaystyle (A,(\varphi _{i})_{i\in I})}$, где A — объект ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, а для каждого i морфизм ${\displaystyle \varphi _{i}:A_{i}\to A}$, такая, что для любого объекта X и любого семейства морфизмов ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ из ${\displaystyle A_{i}}$ в X существует единственный морфизм g : A \to X такой, что для любого i ${\displaystyle g\circ \varphi _{i}=f_{i}}$. Объект A, если он существует, называется суммой (в смысле категорий) объектов ${\displaystyle A_{i}}$, обычно обозначается ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$.

${\displaystyle {\begin{matrix}&X{\xleftarrow {f_{i}}}A_{i}\\&g\nwarrow \downarrow \varphi _{i}\\&\bigoplus _{i\in I}A_{i}\end{matrix}}}$

Таким образом определяются дизъюнктное объединение множеств, свободное произведение групп, прямая сумма модулей, прямая сумма векторных пространств и др.

Пусть I — направленное множество, а ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ снабжены морфизмами ${\displaystyle \alpha _{i,j}:A_{i}\to A_{j}}$ при ${\displaystyle i\leq j}$, такими что:

${\displaystyle \forall i\in I,\ \alpha _{i,i}=\mathrm {Id} _{A_{i}}}$;

${\displaystyle \forall (i,j,k)\in I^{3},\ i\leq j\leq k\Rightarrow \alpha _{j,k}\circ \alpha _{i,j}=\alpha _{i,k}}$.

Для любого X из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ положим ${\displaystyle F(X)=\{(f_{i})_{i\in I},\ f_{i}:A_{i}\to X,\ f_{i}=f_{j}\circ \alpha _{i,j}\ {\text{при}}\ i\leq j\}}$.

Решение универсальной задачи для F называется индуктивным пределом ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$.

Пусть A, B, C — три объекта, и два морфизма ${\displaystyle f:C\to A}$ и ${\displaystyle g:C\to B}$. Если абстрагироваться от C, можно определить сумму A и B (если она существует). Дополнительное условие — требование коммутативности с морфизмами f и g. Для любого объекта X положим ${\displaystyle F(X)=\{(p_{A},p_{B}),\ p_{A}:A\to X,\ p_{B}:B\to X,\ p_{A}\circ f=p_{B}\circ g\}}$.

Решение универсальной задачи для функтора F называется склеенной суммой A и B по C.

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория, а ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ — семейство объектов. Определим контравариантный функтор F, который каждому объекту X сопоставляет ${\displaystyle F(X)=\{(f_{i})_{i\in I},\ f_{i}:X\to A_{i}\}}$, то есть семейство морфизмов из X в ${\displaystyle A_{i}}$. Для любого морфизма ${\displaystyle h:Y\to X}$ функтор F(h) действует как ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}\mapsto (f_{i}\circ h)_{i\in I}}$. Функтор контравариантен, так как направление стрелки h противоположно направлению F(h).

Решение универсальной задачи для F — это пара ${\displaystyle (A,(\pi _{i})_{i\in I})}$, где A — объект ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, а для каждого i морфизм ${\displaystyle \pi _{i}:A\to A_{i}}$, такая, что для любого объекта X и любого семейства морфизмов ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ из X в ${\displaystyle A_{i}}$ существует единственный морфизм g : X \to A (направление меняется из-за контравариантности), такой что для любого i ${\displaystyle \pi _{i}\circ g=f_{i}}$. Объект A, если он существует, называется произведением (в смысле категорий) объектов ${\displaystyle A_{i}}$, обычно обозначается ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$. Эта конструкция дуальна сумме.

${\displaystyle {\begin{matrix}&X\to A_{i}\\&g\searrow \uparrow \pi _{i}\\&\prod _{i\in I}A_{i}\end{matrix}}}$

Таким образом определяются декартово произведение множеств, прямое произведение групп, модулей, векторных пространств и др.

Пусть I — направленное множество, а ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ снабжены морфизмами ${\displaystyle \alpha _{j,i}:A_{j}\to A_{i}}$ при ${\displaystyle i\leq j}$, такими что:

${\displaystyle \forall i\in I,\ \alpha _{i,i}=\mathrm {Id} _{A_{i}}}$;

${\displaystyle \forall (i,j,k)\in I^{3},\ i\leq j\leq k\Rightarrow \alpha _{j,i}\circ \alpha _{k,j}=\alpha _{k,i}}$.

Для любого X из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ положим ${\displaystyle F(X)=\{(f_{i})_{i\in I},\ f_{i}:X\to A_{i},\ f_{i}=\alpha _{j,i}\circ f_{j}\ {\text{при}}\ i\leq j\}}$.

Решение универсальной задачи для F называется проективным пределом ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$. Эта конструкция дуальна индуктивному пределу.

Пусть A, B, E — три объекта, и два морфизма ${\displaystyle f:A\to B}$ и ${\displaystyle p:E\to B}$. Если абстрагироваться от B, можно определить произведение A и E (если оно существует). Дополнительное условие — требование коммутативности с морфизмами f и p. Для любого объекта X положим ${\displaystyle F(X)=\{(p_{A},p_{E}):X\to A\times E,\ f\circ p_{A}=p\circ p_{E}\}}$.

Решение универсальной задачи для контравариантного функтора F называется вытянутым (фибрированным) произведением A и E над B. Эта конструкция дуальна склеенной сумме.

Пусть I — заданное множество, а ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория, объекты которой состоят из множеств. Пусть F — функтор, определённый на ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, который каждому X сопоставляет ${\displaystyle F(X)=\{(x_{i})_{i\in I},\ \forall i,\ x_{i}\in X\}}$, то есть множество семейств элементов X, индексированных I. Если h — морфизм из X в Y, то F(h) — отображение из F(X) в F(Y), которое каждому семейству ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ сопоставляет семейство ${\displaystyle (y_{i})_{i\in I}=(h(x_{i}))_{i\in I}}$.

Решение универсальной задачи для F — это пара ${\displaystyle (E,(e_{i})_{i\in I})}$ такая, что для любого объекта X и любого семейства ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ в X существует единственный морфизм g : E \to X такой, что для любого i ${\displaystyle g(e_{i})=x_{i}}$. Иначе говоря, g — единственное продолжение на всё E по значениям на ${\displaystyle e_{i}}$.

В случае, когда ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория множеств, берут различные ${\displaystyle e_{i}}$, и E — множество этих ${\displaystyle e_{i}}$.

В случае, когда ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория модулей над кольцом A, решением универсальной задачи является свободный модуль с базисом ${\displaystyle e_{i}}$.

В случае, когда ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория групп, решением универсальной задачи является свободная группа, порождённая ${\displaystyle e_{i}}$.

В случае, когда ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория булевых алгебр, решением универсальной задачи является свободная булева алгебра, порождённая ${\displaystyle e_{i}}$. Такая алгебра, рассматриваемая как кольцо, строится следующим образом. Сначала берутся все конечные произведения ${\displaystyle e_{i}}$ (включая пустое произведение для получения единицы), затем берутся все конечные суммы этих произведений.

В случае, когда ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория коммутативных алгебр над кольцом A, решением универсальной задачи является многочлен от нескольких переменных с коэффициентами в A и переменными ${\displaystyle e_{i}}$. Обычно их обозначают ${\displaystyle X_{i}}$.

Если взять F — константный функтор, отправляющий каждый объект X из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в один и тот же синглетон {θ}, а все морфизмы ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — в тождественное отображение этого синглетона, то решение универсальной задачи для F сводится к определению объекта A, для которого для любого объекта X существует единственный морфизм g : A \to X. Такой объект называется начальным объектом категории. Если рассматривать противоположную категорию, то решением универсальной задачи будет терминальный объект.

Если начальный объект является решением универсальной задачи для константного функтора, то, наоборот, любое решение универсальной задачи можно рассматривать как начальный объект некоторой подходящей категории. Действительно, если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория, а F — функтор, можно рассмотреть категорию ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ пар (X, f), где X — объект ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, а f \in F(X). Часто первую компоненту X можно опустить, так как она определяется f. Объекты категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ тогда — элементы f. Морфизм h из (X, f) в (Y, g) в ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — это морфизм h : X \to Y в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, такой что F(h)(f) = g. Функториальное решение исходной универсальной задачи для F — это начальный объект категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$.

Таким образом, достаточно задать эту категорию, чтобы однозначно (с точностью до изоморфизма) охарактеризовать решение универсальной задачи.

Пусть A — коммутативное кольцо, а S — мультипликативная подмножество A, содержащее 1. Рассмотрим категорию ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, объекты которой — гомоморфизмы колец ${\displaystyle f:A\to X}$ такие, что для любого s \in S элемент f(s) обратим в X. Морфизм этой категории из ${\displaystyle f:A\to X}$ в ${\displaystyle g:A\to Y}$ — это гомоморфизм колец ${\displaystyle h:X\to Y}$ такой, что ${\displaystyle h\circ f=g}$.

Начальный объект этой категории — это коммутативное кольцо ${\displaystyle {\overline {A}}}$ и гомоморфизм колец ${\displaystyle \theta :A\to {\overline {A}}}$, удовлетворяющие следующему универсальному свойству: для любого коммутативного кольца X и любого гомоморфизма ${\displaystyle f:A\to X}$, отправляющего элементы S в обратимые элементы X, существует единственный гомоморфизм колец ${\displaystyle g:{\overline {A}}\to X}$ такой, что ${\displaystyle f=g\circ \theta }$.

Решение этой универсальной задачи существует и называется локализацией кольца A по множеству S. Для её построения вводится отношение эквивалентности ∼ на ${\displaystyle A\times S}$ по правилу ${\displaystyle (a,s)\sim (b,t)\Leftrightarrow \exists u\in S,\ u(at-bs)=0}$. Элементы фактор-множества ${\displaystyle {\overline {A}}=(A\times S)/\sim }$ обозначаются ${\displaystyle {\overline {(a,s)}}}$ или ${\displaystyle {\frac {a}{s}}}$, и на этом фактор-множестве вводится естественная кольцевая структура, воспроизводящая обычные правила работы с дробями, а также канонический гомоморфизм колец ${\displaystyle \theta :{\begin{matrix}A&\to &(A\times S)/\sim \\a&\mapsto &{\overline {(a,1)}}\end{matrix}}}$.

${\displaystyle {\begin{matrix}A&{\xrightarrow {f}}&X\\\theta \downarrow &\nearrow g\\(A\times S)/\sim \end{matrix}}}$

Аналогично, применяя этот подход к интегральному кольцу и множеству его ненулевых элементов, получают поле частных.

Пусть M — метрическое пространство. Рассмотрим категорию ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, объекты которой — изометрии ${\displaystyle f:M\to X}$ из M в полное пространство X. Морфизм этой категории из ${\displaystyle f:M\to X}$ в ${\displaystyle g:M\to Y}$ — это изометрия ${\displaystyle h:X\to Y}$ такая, что ${\displaystyle h\circ f=g}$.

Начальный объект этой категории — это полное пространство ${\displaystyle {\hat {M}}}$ и изометрия ${\displaystyle j:M\to {\hat {M}}}$, удовлетворяющие следующему универсальному свойству: для любого полного пространства N и любой изометрии ${\displaystyle f:M\to N}$ существует единственная изометрия ${\displaystyle g:{\hat {M}}\to N}$ такая, что ${\displaystyle f=g\circ j}$. j, являясь изометрией, инъективна и может рассматриваться как каноническое вложение M в ${\displaystyle {\hat {M}}}$. g — это продолжение f на всё ${\displaystyle {\hat {M}}}$.

Решение этой универсальной задачи существует и называется пополнением метрического пространства M. Это пополнение также является начальным объектом в категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$, объекты которой — равномерно непрерывные функции ${\displaystyle f:M\to X}$ из M в полное пространство X. Это означает, что пополнение метрического пространства единственно с точностью до изоморфизма, причём изоморфизмом может быть равномерно непрерывная биекция и её обратная. Это приводит к понятию равномерно эквивалентных метрик, равномерных пространств и польских пространств.