Индуктивный предел

Пусть ${\displaystyle C}$ — направленное по возрастанию предупорядоченное множество, то есть в ${\displaystyle C}$ задано рефлексивное и транзитивное отношение ${\displaystyle \prec }$ и для любых элементов ${\displaystyle \alpha ,\beta \in C}$ найдётся такой элемент ${\displaystyle \gamma \in C}$, что ${\displaystyle \alpha \prec \gamma }$ и ${\displaystyle \beta \prec \gamma }$.

Пусть каждому ${\displaystyle \alpha \in C}$ сопоставлена некоторая структура ${\displaystyle A_{\alpha }}$ (для определённости можно считать, что ${\displaystyle A_{\alpha }}$— группы) и при ${\displaystyle \alpha \prec \beta }$ заданы гомоморфизмы ${\displaystyle \varphi _{\alpha \beta }:A_{\alpha }\to A_{\beta }}$, удовлетворяющие двум условиям:

1. ${\displaystyle \varphi _{\alpha \alpha }=1_{A\alpha }}$ для любого ${\displaystyle \alpha \in C}$;
2. ${\displaystyle \varphi _{\alpha \beta }\cdot \varphi _{\beta \gamma }=\varphi _{\alpha \gamma }}$ и для любых ${\displaystyle \alpha \prec \beta \prec \gamma }$ из ${\displaystyle C}$.

На множестве ${\displaystyle {\bar {A}}=\bigcup _{\alpha \in C}A_{\alpha }}$ вводится отношение эквивалентности ${\displaystyle \thicksim }$: элемент ${\displaystyle x\in A_{\alpha }}$ эквивалентен элементу ${\displaystyle y\in A_{\beta }}$, если ${\displaystyle x\varphi _{\alpha \gamma }=y\varphi _{\beta \gamma }}$ для некоторого ${\displaystyle \gamma }$. Фактормножество ${\displaystyle A={\bar {A}}/\thicksim }$ можно снабдить структурой группы: если ${\displaystyle x\in A_{\alpha }}$, ${\displaystyle y\in A_{\beta }}$ и ${\displaystyle \alpha \prec \gamma }$, ${\displaystyle \beta \prec \gamma }$, то произведением классов эквивалентности с представителями ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ считается класс эквивалентности с представителем ${\displaystyle (x\varphi _{\alpha \gamma })(y\varphi _{\beta \gamma })}$. Построенная группа ${\displaystyle A}$ называется индуктивным пределом семейства групп ${\displaystyle A_{\alpha }}$.

Индуктивный предел обозначается ${\displaystyle (A,\varphi _{D})=\varinjlim F}$ или ${\displaystyle A=\varinjlim F}$ или ${\displaystyle A=\varinjlim F(D)}$^[1].

Обобщением конструкции семейства групп ${\displaystyle A_{\alpha }}$ является индуктивный предел (прямой предел, копредел) функтора.

Объект ${\displaystyle A_{\alpha }}$ категории ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ называется индуктивным пределом ковариантного функтора ${\displaystyle F:{\mathfrak {D}}\to {\mathfrak {K}}}$, если:

1. существуют такие морфизмы ${\displaystyle \varphi _{D}:F(D)\to A}$, где ${\displaystyle D\in {\text{Ob}}{\mathfrak {D}}}$, что ${\displaystyle F(\alpha )\varphi _{D_{1}}=\varphi _{D}}$ для любого морфизма ${\displaystyle \alpha :D\to D_{1}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$;
2. для любого семейства морфизмов ${\displaystyle \psi _{D}:F(D\to B)}$, где ${\displaystyle D\in {\text{Ob}}{\mathfrak {D}}}$, для которого ${\displaystyle F(\alpha )\psi _{D_{1}}=\psi _{D}}$ при любом ${\displaystyle \alpha :D\to D_{1}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$, существует такой единственный морфизм ${\displaystyle \gamma :A\to B}$, что ${\displaystyle \psi _{\alpha }=\varphi _{D}\gamma }$, ${\displaystyle D\in {\text{Ob}}{\mathfrak {D}}}$.

Индуктивный предел контравариантного функтора ${\displaystyle F:{\mathfrak {D}}\to {\mathfrak {K}}}$ определяется как индуктивный предел ковариантного функтора ${\displaystyle F^{*}}$ из двойственной к ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$ категории ${\displaystyle {\mathfrak {D}}^{*}}$ в категорию ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$^[1].

Пусть ${\displaystyle E}$ — векторное пространство и для каждого ${\displaystyle \alpha }$ из некоторого множества ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ индексов ${\displaystyle {\text{g}}_{\alpha }}$ — линейное отображение топологического векторного пространства ${\displaystyle E_{\alpha }}$ в ${\displaystyle E}$. Тогда в ${\displaystyle E}$ существуют:

а) сильнейшая среди всех топологий, для которых каждое из отображений ${\displaystyle {\text{g}}_{\alpha }}$ непрерывно;

б) сильнейшая среди всех топологий, согласующихся со структурой векторного пространства, для которых эти же отображения непрерывны;

в) сильнейшая среди всех локально выпуклых топологий, для которых все отображения ${\displaystyle {\text{g}}_{\alpha }}$ непрерывны (даже в том случае, когда все ${\displaystyle E_{\alpha }}$ — локально выпуклые пространства, эти три топологии могут быть различными).

Если все ${\displaystyle E_{\alpha }}$ — локально выпуклые пространства, то пространство ${\displaystyle E}$, наделённое топологией, определённой в пункте в), называется индуктивным пределом семейства ${\displaystyle \{E_{\alpha }\}}$ локально выпуклых пространств относительно отображений ${\displaystyle {\text{g}}_{\alpha }}$, а сама эта топология — индуктивной топологией (того же семейства локально выпуклых пространств относительно тех же отображений)^[2].

В этом разделе будет дано определение, подходящее для множеств с добавленной структурой, таких как группы, кольца, модули над фиксированным кольцом и другие.

Пусть ${\displaystyle I}$ — направленное множество с отношением предпорядка ${\displaystyle \leqslant }$ и пусть каждому элементу ${\displaystyle i\in I}$ сопоставлен алгебраический объект ${\displaystyle X_{i}}$, а каждой паре ${\displaystyle (i,\;j)}$, ${\displaystyle i,\;j\in I}$, в которой ${\displaystyle i\leqslant j}$, сопоставлен гомоморфизм ${\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j}}$, причём ${\displaystyle f_{ii}}$ — тождественные отображения для любого ${\displaystyle i\in I}$ и ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j\leqslant k}$ из ${\displaystyle I}$. Такую систему объектов и гомоморфизмов называют также направленной системой.

Тогда множество-носитель прямого предела направленной системы ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ — это фактормножество дизъюнктного объединения множеств-носителей ${\displaystyle X_{i}}$ по отношению эквивалентности:

${\displaystyle \varinjlim X_{i}=\bigsqcup _{i}X_{i}{\bigg /}\sim .}$

Здесь ${\displaystyle x_{i}\in X_{i}}$ и ${\displaystyle x_{j}\in X_{j}}$ эквивалентны, если существует такое ${\displaystyle k\in I}$, что ${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})}$. Интуитивно, два элемента дизъюнктного объединения эквивалентны тогда и только тогда, когда они «рано или поздно станут эквивалентными» в направленной системе. Более простая формулировка — это транзитивное замыкание отношения эквивалентности «каждый элемент эквивалентен своим образам», то есть ${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})}$.

Из этого определения получают канонические морфизмы ${\displaystyle \phi _{i}:X_{i}\rightarrow X}$, отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Добавленную алгебраическую структуру на ${\displaystyle X}$ можно получить, исходя из знания этих гомоморфизмов.

В произвольной категории прямой предел можно определить с помощью его универсального свойства. А именно, прямой предел направленной системы ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ — это объект ${\displaystyle X}$ категории, такой, что выполняются следующие условия:

1. существует такое семейство отображений ${\displaystyle \phi _{i}:X_{i}\to X}$, что ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j}$;
2. для любого семейства отображений ${\displaystyle \psi _{i}:X_{i}\to Y}$, в произвольное множества ${\displaystyle Y}$, для которого выполнены равенства ${\displaystyle \psi _{i}=\psi _{j}\circ f_{ij}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j}$, существует единственное отображение ${\displaystyle u:X\to Y}$, что ${\displaystyle \psi _{i}=u\circ \phi _{i}}$, для всех ${\displaystyle i\in I}$.

Прямой предел направленной системы — это то же самое, что её копредел в теории категорий.

• Локально выпуклая прямая сумма семейства ${\displaystyle \{E_{\alpha }\}}$ локально выпуклых пространств — это алгебраическая прямая сумма ${\displaystyle E}$ семейства векторных пространств ${\displaystyle \{E_{\alpha }\}}$, наделённая индуктивной топологией семейства ${\displaystyle \{E_{\alpha }\}}$ относительно отображений ${\displaystyle {\text{g}}_{\alpha }}$, представляющих собой канонические вложения пространств ${\displaystyle E_{\alpha }}$ в ${\displaystyle E}$.
• Верхняя грань семейства топологий на множестве ${\displaystyle S}$ — топология ${\displaystyle \xi }$, наименьшая из всех топологий на множестве ${\displaystyle S}$, содержащих каждую топологию заданного семейства. Верхнюю грань семейства топологий называют также индуктивным пределом семейства топологий^[3].
• Пусть ${\displaystyle E}$ — векторное пространство и ${\displaystyle \{\tau _{\alpha }\}}$ семейство локально выпуклых топологий в ${\displaystyle E}$, согласующихся со структурой векторного пространства, и ${\displaystyle \tau }$ — их нижняя грань в классе локально выпуклых топологий. Локально выпуклое пространство ${\displaystyle (E,\tau )}$ — это индуктивный предел семейства локально выпуклых пространств ${\displaystyle \{E_{\alpha }\}}$ относительно отображений, каждое из которых совпадает с тождественным отображением ${\displaystyle E_{\alpha }\to E}$.
• Пусть ${\displaystyle E}$ — локально выпуклое пространство, ${\displaystyle E_{1}}$ — его векторное подпространство. Топологическое векторное факторпространство ${\displaystyle E|E_{1}}$ представляет собой индуктивный предел одноэлементного семейства ${\displaystyle \{E\}}$ относительно канонического отображения ${\displaystyle E\to E|E_{1}}$.
• Локально выпуклое пространство называется борнологическим, если всякое его линейное отображение в произвольное банахово пространство, переводящее каждое ограниченное множество в ограниченное, непрерывно. Локально выпуклое пространство является борнологическим в том и только в том случае, если оно представляет собой индуктивный предел некоторого семейства нормируемых локально выпуклых пространств^[2].