Единственность

Наиболее распространённый способ доказательства существования единственного объекта заключается в том, чтобы сначала доказать существование объекта с требуемым свойством, а затем показать, что любые два таких объекта (например, ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$) должны быть равны друг другу (то есть ${\displaystyle a=b}$).

Например, чтобы показать, что уравнение ${\displaystyle x+2=5}$ имеет ровно одно решение, сначала устанавливают существование хотя бы одного решения, а именно 3; доказательство этой части — простая проверка того, что верно равенство:

${\displaystyle 3+2=5.}$

Чтобы установить единственность решения, предполагают, что существуют два решения, ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, удовлетворяющие ${\displaystyle x+2=5}$. То есть,

${\displaystyle a+2=5{\text{ и }}b+2=5.}$

Поскольку равенство — транзитивное отношение,

${\displaystyle a+2=b+2.}$

Вычитая 2 из обеих частей, получаем

${\displaystyle a=b.}$

что завершает доказательство того, что 3 — единственное решение уравнения ${\displaystyle x+2=5}$.

В общем случае, чтобы заключить, что существует ровно один объект, удовлетворяющий заданному условию, необходимо доказать как существование (существует хотя бы один объект), так и единственность (существует не более одного объекта).

Альтернативный способ доказательства единственности состоит в том, чтобы доказать существование объекта ${\displaystyle a}$, удовлетворяющего условию, а затем показать, что любой объект, удовлетворяющий этому условию, равен ${\displaystyle a}$.

Квантификацию единственности можно выразить через существующий квантор и универсальный квантор предикатной логики, определяя формулу ${\displaystyle \exists !xP(x)}$ как^[3]

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x)),}$

что логически эквивалентно

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).}$

Эквивалентное определение, разделяющее существование и единственность на два утверждения, но менее компактное:

${\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,[(P(y)\wedge P(z))\to y=z].}$

Более краткое эквивалентное определение:

${\displaystyle \exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x).}$

Квантификация единственности может быть обобщена до квантификации по числу (или числовой квантификации^[4]). Включает как квантификацию вида «существует ровно ${\displaystyle k}$ объектов, таких что …», так и «существует бесконечно много объектов, таких что …» и «существует только конечное число объектов, таких что…». Первая из этих форм выражается с помощью обычных кванторов, но две последние не могут быть выражены в рамках логики первого порядка^[5].

Единственность зависит от понятия равенства. Ослабление этого понятия до более грубого эквивалентного отношения приводит к квантификации единственности с точностью до этого отношения (в этом контексте обычная единственность — это «единственность с точностью до равенства»). Это называется существенной единственностью. Например, многие понятия в теории категорий определяются как единственные с точностью до изоморфизма.

Восклицательный знак ${\displaystyle !}$ также может использоваться как отдельный символ квантификации, так что ${\displaystyle (\exists !x.P(x))\leftrightarrow ((\exists x.P(x))\land (!x.P(x)))}$, где ${\displaystyle (!x.P(x)):=(\forall a\forall b.P(a)\land P(b)\rightarrow a=b)}$. Например, его можно безопасно использовать в аксиоме подстановки вместо ${\displaystyle \exists !}$.