Лемма Йонеды

В произвольной (локально малой) категории для данного объекта ${\displaystyle A}$ можно рассмотреть ковариантный функтор Hom, обозначаемый:

${\displaystyle h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-)}$.

Лемма Йонеды утверждает, что для любого объекта ${\displaystyle A}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, естественные преобразования из ${\displaystyle h^{A}}$ в произвольный функтор ${\displaystyle F}$ из категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в категорию множеств ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами ${\displaystyle F(A)}$:

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},F)\cong F(A)}$.

Для данного естественного преобразования ${\displaystyle \Phi }$ из ${\displaystyle h^{A}}$ в ${\displaystyle F}$ соответствующий элемент ${\displaystyle F(A)}$ — это ${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})}$, то есть естественное преобразование однозначно определяется образом тождественного морфизма.

Контравариантная версия леммы рассматривает контравариантный функтор:

${\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (-,A)}$,

отправляющий ${\displaystyle X}$ во множество ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,A)}$. Для произвольного контравариантного функтора ${\displaystyle G}$ из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},G)\cong G(A)}$.

Используется мнемоническое правило «падать во что-то» при рассмотрении морфизмов в зафиксированный объект.

Доказательство леммы Йонеды представлено на следующей коммутативной диаграмме:

Диаграмма показывает, что естественное преобразование ${\displaystyle \Phi }$ полностью определяется ${\displaystyle \Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u}$, так как для любого морфизма ${\displaystyle f\colon A\to X}$:

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u}$.

Более того, эта формула задаёт естественное преобразование для любого ${\displaystyle u\in F(A)}$ (так как диаграмма коммутативна). Доказательство контравариантного случая аналогично.

Частный случай леммы Йонеды — когда функтор ${\displaystyle F}$ также является функтором Hom. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что:

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A)}$.

Отображение каждого объекта ${\displaystyle A}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в соответствующий Hom-функтор ${\displaystyle h^{A}=Hom(A,-)}$ и каждый морфизм ${\displaystyle f\colon B\to A}$ в соответствующее естественное преобразование ${\displaystyle \mathrm {Hom} (f,-)}$ задаёт контравариантный функтор ${\displaystyle h^{-}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в ${\displaystyle \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$, либо ковариантный функтор:

${\displaystyle h^{-}\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}}$.

В этой ситуации лемма Йонеды утверждает, что ${\displaystyle h^{-}}$ — вполне унивалентный функтор, то есть задаёт вложение ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ в категорию функторов в ${\displaystyle \mathbf {Set} }$.

В контравариантном случае по лемме Йонеды:

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B)}$.

Следовательно ${\displaystyle h_{-}}$ задаёт вполне унивалентный ковариантный функтор (вложение Йонеды):

${\displaystyle h_{-}\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}}$.