Коммутативная диаграмма

История развития коммутативных диаграмм тесно связана с развитием математики и, в частности, с теорией категорий. Коммутативные диаграммы — это графические представления, показывающие отношения между различными математическими объектами, такими как группы, кольца или топологические пространства, и функциями или морфизмами между ними, при этом гарантируется, что определённые композиции функций совпадают. Эта идея возникла постепенно по мере того, как математика формализовала свои абстрактные структуры и искала визуальные средства для понимания сложных свойств и отношений.

Понятие коммутативной диаграммы появилось в контексте теории групп, когда такие математики, как Эварист Галуа и Огюстен-Луи Коши, начали более структурированно представлять алгебраические отношения. Однако сам термин «коммутативная диаграмма» был введён лишь в середине, когда теория категорий оформилась как самостоятельная дисциплина. Теория категорий была разработана такими математиками, как Самуэль Эйленберг и Сандерс Мак-Лейн, которые формализовали понятие категории в работе «General Theory of Natural Equivalences» (1945). В этом контексте коммутативные диаграммы были введены как визуальный инструмент для описания свойств морфизмов и математических структур.

Коммутативные диаграммы позволяют наглядно представить, как композиции функций или морфизмов удовлетворяют определённым равенствам, что существенно во многих областях математики, таких как алгебра, топология и алгебраическая геометрия. Со временем эти диаграммы стали центральным инструментом в математической работе, облегчая как доказательство теорем, так и визуализацию абстрактных понятий.

В следующей диаграмме выражается первая теорема об изоморфизме, коммутативность означает, что ${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \pi }$:

Ниже приведён общий коммутативный квадрат, в котором ${\displaystyle h\circ f=k\circ g}$:

В алгебраических текстах тип морфизмов может обозначаться различными стрелками: мономорфизмы — ${\displaystyle \hookrightarrow }$^[2], эпиморфизмы — ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$, а изоморфизмы — ${\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}}$. Пунктирная стрелка обычно указывает на существование морфизма при выполнении остальных условий схемы. Часто в текстах не объясняется значение различных типов стрелок.

Коммутативность легко понимается с помощью многоугольника с любым конечным числом сторон (вплоть до 1 или 2). Диаграмма называется коммутативной, если все возможные её многоугольные поддиаграммы коммутативны.

Диаграммная погоня (или «охота по диаграмме») — метод доказательства, используемый преимущественно в гомологической алгебре. Доказательство с помощью диаграммной погони формально использует свойства диаграммы, такие как инъективность или сюръективность отображений, а также точные последовательности. Строится силлогизм, при этом графическое представление диаграммы служит лишь наглядным пособием. Таким образом, «охота» или «поимка» элементов происходит в рамках диаграммы до тех пор, пока не будет получен или конструктивно доказан нужный результат. Диаграмма служит лишь инструментом визуализации формально корректного доказательства.

Примеры доказательств с помощью диаграммной погони включают доказательства с использованием леммы о пяти, леммы о змее, леммы зигзага, и леммы о девяти.

Следует учитывать, что доказательство с помощью диаграммной погони непосредственно применимо только в категориях, объекты которых — множества (с дополнительной структурой), а морфизмы — определённые отображения между этими множествами, связанные обычной композицией и т. д. Для более общих категорий можно использовать теорему о вложении Митчелла, которая позволяет рассматривать каждую (малую) абелеву категорию как конкретную категорию модулей, либо вместо элементов использовать классы эквивалентности морфизмов; правила вычислений при этом те же, что и для элементов.

Если диаграммная погоня используется для построения иллюстраций, то такие диаграммы обычно «натуральны»: имеется два экземпляра диаграммы с разными объектами и гомоморфизмами, а также гомоморфизм между этими диаграммами (то есть гомоморфизмы между соответствующими объектами), причём все возникающие ячейки коммутативны; тогда построенные отображения также коммутируют с этими гомоморфизмами.

В математике теория высших категорий — это раздел теории категорий, в котором некоторые равенства заменяются явными стрелками, чтобы можно было изучать структуру, стоящую за этими равенствами. Теория высших категорий часто применяется в алгебраической топологии (особенно в теории гомотопий), где изучаются инварианты пространств, такие как их фундаментальный слабый ∞-групоид (квази-категория). В теории высших категорий понятие высших категориальных структур, таких как (∞-категории), позволяет более гибко работать с теорией гомотопий, различая, например, два топологических пространства с одинаковой фундаментальной группой, но разными высшими гомотопическими группами. Такой подход особенно ценен при изучении пространств со сложной топологией^[3], например, пространства Эйленберга — Маклейна.

В теории высших категорий рассматриваются не только объекты и стрелки, но и стрелки между стрелками, стрелки между стрелками между стрелками и так далее ad infinitum. Например, категория малых категорий Cat естественно является 2-категорией, где функторы выступают в роли стрелок, а естественные преобразования — в роли стрелок между функторами. В этом контексте коммутативные диаграммы могут включать и такие «высшие» стрелки, которые часто обозначаются так: ${\displaystyle \Rightarrow }$.

Например, следующая (довольно тривиальная) диаграмма изображает две категории C и D, два функтора F, G : C → D и естественное преобразование α : F ⇒ G:

2-коммутативная диаграмма

В 2-категории существует два типа композиции (вертикальная и горизонтальная композиции), которые также могут быть представлены с помощью склеенных диаграмм.

Коммутативная диаграмма в категории C может быть интерпретирована как функтор из индексирующей категории J в C; такой функтор называют диаграммой. В теории категорий диаграммой называют категориальный аналог семейства множеств в теории множеств. Основное отличие состоит в том, что в категориальной обстановке морфизмы также требуют индексирования. Семейство множеств — это коллекция множеств, индексированных фиксированным множеством; эквивалентно, функция из фиксированного множества индексов в класс множеств. Диаграмма — это коллекция объектов и морфизмов, индексированных фиксированной категорией; эквивалентно, функтор из фиксированной индексирующей категории в некоторую категорию.^[4]

Более формально, коммутативная диаграмма — это визуализация диаграммы, индексированной частично упорядоченным множеством (в англоязычной литературе — poset: partially ordered set):

• для каждого объекта индексирующей категории рисуется вершина,
• для каждого порождающего морфизма — стрелка,
• тождественные отображения и морфизмы, выражаемые через композиции, опускаются,
• коммутативность диаграммы (равенство различных композиций отображений между двумя объектами) соответствует единственности отображения между двумя объектами в poset-категории.

Наоборот, любая коммутативная диаграмма определяет poset-категорию:

• объекты — вершины,
• между любыми двумя объектами есть морфизм если и только если существует (прямой) путь между вершинами,
• причём этот морфизм единственен (любая композиция отображений определяется началом и концом: это аксиома коммутативности).

Однако не всякая диаграмма коммутативна (понятие диаграммы строго обобщает коммутативную диаграмму): например, диаграмма с одним объектом и эндоморфизмом (${\displaystyle f\colon X\to X}$), или с двумя параллельными стрелками (${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$; ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$), как в определении эквалайзера, не обязана быть коммутативной. Кроме того, диаграммы могут быть неудобны или невозможны для изображения при большом (или даже бесконечном) числе объектов и морфизмов.