Степенной закон

Для степенного закона характерна масштабная инвариантность. Если выполняется ${\displaystyle f(x)=ax^{-k}}$, то масштабирование аргумента ${\displaystyle x}$ на постоянный коэффициент ${\displaystyle c}$ приведёт к пропорциональному масштабированию самой функции. То есть:

${\displaystyle f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!}$

где ${\displaystyle \propto }$ обозначает прямую пропорциональность. Иными словами, умножение аргумента на постоянную величину ${\displaystyle c}$ приводит просто к умножению значения функции на постоянную величину ${\displaystyle c^{-k}}$. Таким образом, все степенные законы с заданным показателем степени эквивалентны с точностью до умножения на константу, поскольку все они представляют собой лишь масштабированные версии друг друга. Это порождает линейную зависимость между логарифмами величин ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle x}$, и прямую линию на графике в двойном логарифмическом масштабе (log-log), которую часто считают характерным признаком степенного закона. В реальных данных это признак является необходимым, но не достаточным, чтобы сделать вывод о наличии степенного закона. Существует много способов сгенерировать конечные объёмы данных, имитирующих соответствие степенному закону, но отклоняющихся от него в асимптотическом пределе (например, если процесс генерации данных следует логнормальному распределению). Проверка моделей на соответствие степенному закону является актуальной областью исследований в статистике, см. ниже.

Степенной закон ${\displaystyle x^{-k}}$ имеет строго определённое среднее значение при ${\displaystyle x\in [1,\infty )}$, только если ${\displaystyle k>2}$, и имеет конечную дисперсию, только если ${\displaystyle k>3}$. Для большинства известных степенных законов в природе значения показателя степени таковы, что среднее значение является строго определённым, а дисперсия нет, поэтому для них существует возможность возникновения событий типа «чёрный лебедь».^[10] Это можно показать на примере следующего мысленного эксперимента: представьте себя в комнате с друзьями и оцените среднемесячный доход в этой комнате. Теперь представьте, что в эту комнату вошёл самый богатый человек в мире с месячным доходом около 1 миллиарда US$. Как изменится значение среднемесячного дохода в комнате? Распределение доходов следует степенному закону, известному как распределение Парето (например, капиталы американцев распределены по степенному закону с показателем степени 2).

С одной стороны, это не позволяет корректно применять традиционную статистику, основанную на дисперсии и среднеквадратическом отклонении (например, регрессионный анализ). С другой стороны, это позволяет осуществлять эффективное по затратам вмешательство. К примеру, пусть выхлопные газы автомобилей распределены по степенному закону среди автомобилей (то есть большинство загрязнений осуществляется очень небольшим числом автомобилей). Тогда будет достаточно убрать с дорог это небольшое число автомобилей, чтобы существенно снизить общее количество выбросов.^[11]

Медиана существует: для степенного закона x ^-k с показателем степени ${\displaystyle k>1}$ она принимает значение 2^{1/(k — 1)}x_min, где x_min — это минимальное значение, для которого выполняется степенной закон^[12]