Теорема Котельникова

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристике точек разрыва. Если сигнал имеет разрывы любого рода в функции зависимости его от времени, то его спектральная мощность нигде не обращается в ноль. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный сверху конечной частотой ${\displaystyle f_{c}}$».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временно́й характеристике. Соответственно, ширина их спектра бесконечна. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно, и из теоремы Котельникова вытекают, например, следующие два следствия^[3][4]:

• любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой ${\displaystyle f>2f_{c}}$, где ${\displaystyle f_{c}}$ — максимальная частота, которая ограничена спектром реального сигнала;
• если максимальная частота в сигнале равна или превышает половину частоты дискретизации (наложение спектра), то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует^[5].

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал ${\displaystyle x(t)}$ можно представить в виде интерполяционного ряда:

${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k\Delta )\operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi }{\Delta }}(t-k\Delta )\right],}$

где ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(x)/x}$ — функция sinc. Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям ${\displaystyle 0<\Delta \leqslant {\frac {1}{2f_{c}}}}$. Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала ${\displaystyle x(k\Delta )}$.

Хотя в западной литературе теорема часто называется теоремой Найквиста со ссылкой на работу «Certain topics in telegraph transmission theory» 1928 года, в этой работе речь идёт лишь о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Таким образом, в контексте теоремы отсчётов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. Примерно в это же время Карл Кюпфмюллер получил тот же результат^[6]. О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Теорема была предложена и доказана Владимиром Котельниковым в 1933 году в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой, в частности, была сформулирована одна из теорем следующим образом^[7][8]: «Любую функцию ${\displaystyle f(t)}$, состоящую из частот от 0 до ${\displaystyle f_{c}}$, можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через ${\displaystyle 1/(2f_{c})}$ секунд». Независимо от него эту теорему в 1949 году (через 16 лет) доказал Клод Шеннон^[9], поэтому в западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона. В 1999 году Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритет Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов^[10]. Исторические изыскания показывают, однако, что теорема отсчётов как в части утверждения возможности реконструкции аналогового сигнала по дискретным отсчётам, так и в части способа реконструкции рассматривалась в математическом плане многими учёными и ранее. В частности, первая часть была сформулирована ещё в 1897 году Борелем^[11].

Впоследствии было предложено большое число различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчётов^[12][13]. Так, вместо кардинального ряда по функциям sinc, являющимся сдвинутыми копиями импульсной характеристики идеального фильтра нижних частот, можно использовать ряды по конечно- или бесконечнократным свёрткам функций sinc. Например, справедливо следующее обобщение ряда Котельникова непрерывной функции ${\displaystyle x(t)}$ с финитным спектром ${\displaystyle (\operatorname {supp} {\hat {x}}=[-f_{c},f_{c}])}$ на основе преобразований Фурье атомарных функций^[14]:

${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k\Delta )\prod _{n=1}^{M}\operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi }{a^{n-1}\Delta }}(t-k\Delta )\right],}$

где параметры ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle M}$ удовлетворяют неравенству ${\displaystyle a^{M-1}(a-2)+1>0}$, а интервал дискретизации:

${\displaystyle 0<\Delta \leqslant {\frac {1}{2f_{c}}}\left[1+{\frac {a^{M-1}+1}{a^{M-1}(a-1)}}\right].}$