Критерий согласия Пирсона

Процедура проверки гипотез с использованием критериев типа ${\displaystyle \chi ^{2}}$ предусматривает группирование наблюдений. Область определения случайной величины разбивают на ${\displaystyle k}$ непересекающихся интервалов граничными точками

${\displaystyle x_{(0)},x_{(1)},...,x_{(k-1)},x_{(k)},}$

где ${\displaystyle x_{(0)}}$ — нижняя грань области определения случайной величины; ${\displaystyle x_{(k)}}$ — верхняя грань.

В соответствии с заданным разбиением подсчитывают число ${\displaystyle n_{i}}$ выборочных значений, попавших в ${\displaystyle i}$-й интервал, и вероятности попадания в интервал

${\displaystyle P_{i}(\theta )=F(x_{(i)},\theta )-F(x_{(i-1)},\theta ),}$

соответствующие теоретическому закону с функцией распределения ${\displaystyle F(x,\theta ).}$

При этом

${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{k}n_{i}}$ и ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}P_{i}(\theta )=1.}$

При проверке простой гипотезы известны как вид закона ${\displaystyle F(x,\theta )}$, так и все его параметры (известен скалярный или векторный параметр ${\displaystyle \theta }$).

В основе статистик, используемых в критериях согласия типа ${\displaystyle \chi ^{2}}$, лежит измерение отклонений ${\displaystyle n_{i}/n}$ от ${\displaystyle P_{i}(\theta )}$.

Статистика критерия согласия ${\displaystyle \chi ^{2}}$ Пирсона определяется соотношением

${\displaystyle \chi ^{2}=n\sum _{i=1}^{k}{\frac {\left(n_{i}/n-P_{i}(\theta )\right)^{2}}{P_{i}(\theta )}}.}$

В случае проверки простой гипотезы, в пределе при ${\displaystyle n\to \infty }$ эта статистика подчиняется ${\displaystyle \chi _{r}^{2}}$-распределению с ${\displaystyle r=k-1}$ степенями свободы, если верна проверяемая гипотеза ${\displaystyle H_{0}}$. Плотность ${\displaystyle \chi _{r}^{2}}$-распределения, которое является частным случаем гамма-распределения, описывается формулой

${\displaystyle g(s)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}s^{r/2-1}e^{-s/2}.}$

Проверяемая гипотеза ${\displaystyle H_{0}}$ отклоняется при больших значениях статистики, когда вычисленное по выборке значение статистики ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ больше критического значения ${\displaystyle \chi _{r,\alpha }^{2},}$

${\displaystyle P\left(\chi _{n}^{2}>\chi _{r,\alpha }^{2}\right)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}\int _{\chi _{r,\alpha }^{2}}^{\infty }s^{r/2-1}e^{-s/2}ds}$

или достигнутый уровень значимости (p-значение) меньше заданного уровня значимости (заданной вероятности ошибки 1-го рода) ${\displaystyle \alpha }$.

При проверке сложных гипотез, если параметры закона ${\displaystyle F(x,\theta )}$ по этой же выборке оцениваются в результате минимизации статистики ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ или по сгруппированной выборке методом максимального правдоподобия, то статистика ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ при справедливости проверяемой гипотезы подчиняется ${\displaystyle \chi _{r}^{2}}$-распределению с ${\displaystyle r=k-m-1}$ степенями свободы, где ${\displaystyle m}$ — количество оценённых по выборке параметров.

Если параметры оцениваются по исходной негруппированной выборке, то распределение статистики не будет являться ${\displaystyle \chi _{k-m-1}^{2}}$-распределением^[1]. Более того, распределения статистики при справедливости гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ будут зависеть от способа группирования, то есть от того, как область определения разбивается на интервалы^[2].

При оценивании методом максимального правдоподобия параметров по негруппированной выборке можно воспользоваться модифицированными критериями типа ${\displaystyle \chi ^{2}}$^[3][4][5][6].

При использовании критериев согласия, как правило, не задают конкурирующих гипотез: рассматривается принадлежность выборки конкретному закону, а в качестве конкурирующей гипотезы — принадлежность любому другому. Естественно, что критерий по-разному будет способен отличать от закона, соответствующего ${\displaystyle H_{0}}$, близкие или далёкие от него законы. Если задать конкурирующую гипотезу ${\displaystyle H_{1}}$ и соответствующий ей некоторый конкурирующий закон ${\displaystyle F_{1}(x,\theta )}$, то можно рассуждать уже об ошибках двух видов: не только об ошибке 1-го рода (отклонении проверяемой гипотезы ${\displaystyle H_{0}}$ при её справедливости) и вероятности этой ошибки ${\displaystyle \alpha }$, но и об ошибке 2-го рода (неотклонении ${\displaystyle H_{0}}$ при справедливости ${\displaystyle H_{1}}$) и вероятности этой ошибки ${\displaystyle \beta }$.

Мощность критерия по отношению к конкурирующей гипотезе ${\displaystyle H_{1}}$ характеризуется величиной ${\displaystyle 1-\beta }$. Критерий тем лучше распознаёт пару конкурирующих гипотез ${\displaystyle H_{0}}$ и ${\displaystyle H_{1}}$, чем выше его мощность.

Мощность критерия согласия ${\displaystyle \chi ^{2}}$ Пирсона существенно зависит от способа группирования^[7][8] и от выбранного числа интервалов^[8][9].

При асимптотически оптимальном группировании, при котором максимизируются различные функционалы от информационной матрицы Фишера по группированным данным (минимизируются потери, связанные с группированием), критерий согласия ${\displaystyle \chi ^{2}}$ Пирсона обладает максимальной мощностью относительно «(очень) близких» конкурирующих гипотез^[10][8][9].

При проверке простых гипотез и использовании асимптотически оптимального группирования критерий согласия ${\displaystyle \chi ^{2}}$ Пирсона имеет преимущество в мощности по сравнению с непараметрическими критериями согласия. При проверке сложных гипотез мощность непараметрических критериев возрастает и такого преимущества нет^[11][12]. Однако для любой пары конкурирующих гипотез (конкурирующих законов) за счёт выбора числа интервалов и способа разбиения области определения случайной величины на интервалы можно максимизировать мощность критерия^[13].