Символ частной производной

Частные производные появились уже в XVII веке в трудах Ньютона, Лейбница, Я. и И. Бернулли без каких-либо оговорок, правил и особых символов. Попытки дать чёткое определение частным производным и обозначить их предпринимались до того, как Лежандр впервые противопоставил обозначениям ${\displaystyle {df \over dx},{df \over dy}}$ новые: ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}}$ (1786). Так, например, Лопиталь (1696) писал ${\displaystyle \delta m,\vartheta m}$ для частных производных функции ${\displaystyle m}$ по ${\displaystyle x}$ и по ${\displaystyle y}$ соответственно; Монж (1770) употреблял обозначения ${\displaystyle {\delta \upsilon \over dx},{\delta \upsilon \over dy}}$; Эйлер (1770) отмечал частные производные скобками: ${\displaystyle {\Biggl (}{df \over dx}{\Biggr )},{\Biggl (}{df \over dy}{\Biggr )}}$.

Введению современных обозначений, равно как и ${\displaystyle {\frac {\partial ^{n+p+q}u}{\partial x^{n}\partial y^{p}\partial z^{q}}}}$ способствовало систематическое употребление их немецкими математиками — в первую очередь Якоби (с 1837 г.) и Вейерштрассом (с 1841 г.).

Обозначение матрицы Якоби, составленной из частных производных отображения ${\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\dots ,f_{n})}{\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}}}$, принадлежит английскому математику Артуру Донкину (1854)^[3].

${\displaystyle f'_{x},f'_{y}}$ или ${\displaystyle z'_{x},z'_{y}}$ — Лагранж (1797, 1801);

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}}$ или ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}},{\frac {\partial z}{\partial y}}}$ — Лежандр (1786), Якоби (1837, 1841);

${\displaystyle D_{x}f,D_{y}f}$ — Коши (1840)^[4].

Дифференцируемая функция всегда обладает конечными частными производными ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial z}}}$ и частными дифференциалами ${\displaystyle \operatorname {d} _{x}\!u={\frac {\partial u}{\partial x}}\Delta x,\operatorname {d} _{y}\!u={\frac {\partial u}{\partial y}}\Delta y,\operatorname {d} _{z}\!u={\frac {\partial u}{\partial z}}\Delta z}$; сумма последних даёт полный дифференциал^[5].

Частная производная второго порядка или вторая частная производная, другими словами частная производная от ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}}$ по аргументу ${\displaystyle x}$ обозначается ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}}$ или ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}}$. Общее число вторых частных производных — четыре. Вторые производные ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}}$ называются чистыми, а вторые производные ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}}$ — смешанными. Так как смешанные вторые производные равны между собой (они отличаются друг от друга порядком дифференцирования), то четыре частных производных второго порядка сводятся к трём: ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}}$.

Аналогично обозначаются четыре (из восьми, в силу равенства смешанных) частных производных третьего порядка: ${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{3}}},{\frac {\partial ^{3}z}{\partial y^{3}}},{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{2}\partial y}},{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x\partial y^{2}}}}$.

Аналогично обозначаются частные производные четвёртого и высших порядков функции ${\displaystyle f(x,y)}$, а также функций трёх и большего числа аргументов^[6].

Свойство первого дифференциала сложной функции, называемое инвариантностью его формы, выражается следующей формулой^[7]:

${\displaystyle du={\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}dx_{2}+...+{\frac {\partial u}{\partial x_{m}}}dx_{m}}$.

Градиентом функции ${\displaystyle u=f(x_{1},x_{2},...,x_{m})}$, дифференцируемой в данной точке ${\displaystyle M_{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,x_{m}^{0})}$, называется вектор, обозначаемый символом grad ${\displaystyle u}$ и имеющий координаты: ${\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial u}{\partial x}}(M_{0}),{\frac {\partial u}{\partial y}}(M_{0}),{\frac {\partial u}{\partial z}}(M_{0}){\Bigr )}}$^[8].

Первое уравнение в частных производных историки обнаружили в статьях Эйлера по теории поверхностей, относящихся к 1734—1735 годам (опубликованы в 1740 году). В современных обозначениях оно имело вид:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=f(x,y)}$. Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+...=0,}$

где ${\displaystyle A,\;B,\;C}$ — коэффициенты, зависящие от переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, а многоточие означает члены, зависящие от ${\displaystyle x,\;y,\;u}$ и частных производных первого порядка: ${\displaystyle {\partial u}/{\partial x}}$ и ${\displaystyle {\partial u}/{\partial y}}$.

В топологии каждое топологическое пространство ${\displaystyle X}$ определяет цепной комплекс в категории ${\displaystyle (A_{b})}$ абелевых групп: ${\displaystyle (C_{n}(X),\partial _{n})}$, где ${\displaystyle C_{n}(X)}$ — группа ${\displaystyle n}$-мерных сингулярных цепей пространства ${\displaystyle X}$, а ${\displaystyle \partial _{n}}$ — граничный гомоморфизм^[9].

Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют категорию с морфизмами ${\displaystyle \varphi _{\bullet }\colon (K_{\bullet },\partial _{\bullet }^{K})\to (L_{\bullet },\partial _{\bullet }^{L})}$, где ${\displaystyle \varphi _{\bullet }}$ последовательность морфизмов ${\displaystyle \varphi _{n}\colon K_{n}\to L_{n}}$, такая что ${\displaystyle \varphi _{n}}$ коммутирует с дифференциалом, то есть ${\displaystyle \partial _{n}^{L}\varphi _{n}=\varphi _{n-1}\partial _{n}^{K}}$. Цепной комплекс также можно определить как градуированный модуль ${\displaystyle M_{*}}$, снабжённый дифференциалом ${\displaystyle \partial :M_{*}\to M_{*}}$ степени −1.

Это дифференциальный оператор второго порядка, имеющий в декартовых координатах вид:

${\displaystyle \square u:=\Delta u-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},}$

где ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа, ${\displaystyle c}$ — постоянная. Также может быть представлен в сферических, цилиндрических и общих криволинейных координатах^[10].

Граничный оператор ${\displaystyle \partial }$ определяется на сингулярном симплексе ${\displaystyle (\Delta _{k},f)}$ так:

${\displaystyle \partial (\Delta _{k},f)=\sum _{i}(-1)^{i}(\Delta _{k-1},f_{i})}$,

где ${\displaystyle \Delta _{k-1}}$ стандартный ${\displaystyle (k-1)}$-мерный симплекс, а ${\displaystyle f_{i}=f\circ \epsilon _{i}}$, где ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ — это его отображение на ${\displaystyle i}$-ю грань стандартного симплекса ${\displaystyle \Delta ^{k}(\langle a_{0},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle )}$.

Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что ${\displaystyle \partial \partial =0}$.

Матрица ${\displaystyle J}$, составленная из частных производных этих функций в точке ${\displaystyle x}$, называется матрицей Якоби данной системы функций.

${\displaystyle J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}}$.