Числа Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии^[7][8][9], где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении) намного раньше, чем стала известна в Европе^[8][10][11].

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n − 1, либо L к образцу длиной n − 2 — и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности^[9]. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Книга абака» (1202)^[12][13]. Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, где условия таковы: изначально дана новорождённая пара кроликов (самец и самка); со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и производить новую пару кроликов, причём уже каждый месяц; кролики никогда не умирают^[14][15], — а в качестве искомого выдвигает количество пар кроликов через год.

• В начале первого месяца есть только одна новорождённая пара (1);
• В конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1);
• В конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2);
• В конце третьего месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3);
• В конце четвёртого месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5).

В конце ${\displaystyle n}$-го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количеству новорождённых пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад, то есть ${\displaystyle F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}}$^[16].

Возможно, эта задача также оказалась первой, моделирующей экспоненциальный рост популяции.

Название «последовательность Фибоначчи» впервые было использовано теоретиком XIX века Эдуардом Люка^[17].

Формула Бине выражает в явном виде значение ${\displaystyle F_{n}}$ как функцию от n:

${\displaystyle F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},}$

где ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — золотое сечение и ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle (-\varphi )^{-1}=1-\varphi }$ являются корнями характеристического уравнения: ${\displaystyle x^{2}-x-1=0.}$

Вообще, аналогичная формула существует для любой линейной рекуррентной последовательности, какой служит и последовательность Фибоначчи.

• ${\displaystyle F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1.}$^[20]

• ${\displaystyle F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}.}$^[20][21]

• ${\displaystyle F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1.}$^[20][22]

Это тождество можно доказать вычитанием первого из второго: ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(F_{1}+F_{2}+\dots +F_{{\color {Red}2}n})-(F_{1}+F_{3}+\dots +F_{2n-1})&=F_{{\color {Red}2}n+2}-1-F_{2n},\\F_{2}+F_{4}+\dots +F_{2n}&=F_{2n+1}-1.\\\end{alignedat}}}$

• ${\displaystyle F_{n+1}F_{n+2}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}.}$^[23]
• ${\displaystyle F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$ (см. рис.).
• ${\displaystyle F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}.}$^[20]
• ${\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}.}$^[20]
• ${\displaystyle F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}.}$^[24]
• ${\displaystyle F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}.}$
• ${\displaystyle F_{n+1}=C_{n}^{0}+C_{n-1}^{1}+C_{n-2}^{2}+\dots }$^[25], где ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ — биномиальные коэффициенты.

И более общие формулы:

• ${\displaystyle F_{n+m}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}.}$^[26]
• ${\displaystyle F_{(k+1)n}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}.}$
• ${\displaystyle F_{n}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}.}$
• Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: ${\displaystyle F_{n+1}=K_{n}(1,\dots ,1),}$ то есть

  ${\displaystyle F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}}$, а также ${\displaystyle \ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}},}$

где матрицы имеют размер ${\displaystyle n\times n}$ и где i — мнимая единица.

• Числа Фибоначчи можно выразить через многочлены Чебышёва:

  ${\displaystyle F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right),}$

  ${\displaystyle F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right).}$

• Для любого n справедливо

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

• Как следствие, подсчёт определителей даёт тождество Кассини:^[27][28]

${\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.}$

• С равенством Кассини сопряжено более общее утверждение, названное в честь Эжена Каталана:${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}.}$

• ${\displaystyle F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}}}{2}}.}$
  Это утверждение выводится из тождества Кассини при помощи основного соотношения чисел Фибоначчи: ${\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}(F_{n+1}-F_{n})-F_{n}^{2}}$ ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle 0={\color {Red}F_{n+1}}^{2}-{\color {Red}F_{n+1}}F_{n}-(F_{n}^{2}+(-1)^{n}).}$

• Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, то есть ${\displaystyle (F_{m},F_{n})=F_{(m,n)}.}$ Следствия:
  • ${\displaystyle F_{m}}$ делится на ${\displaystyle F_{n}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle m}$ делится на ${\displaystyle n}$ (за исключением ${\displaystyle n=2}$). В частности, ${\displaystyle F_{m}}$ делится на ${\displaystyle F_{3}=2}$ (то есть является чётным) только для ${\displaystyle m=3k;}$ ${\displaystyle F_{m}}$ делится на ${\displaystyle F_{4}=3}$ только для ${\displaystyle m=4k;}$ ${\displaystyle F_{m}}$ делится на ${\displaystyle F_{5}=5}$ только для ${\displaystyle m=5k}$ и т. д.
  • ${\displaystyle F_{m}}$ может быть простым только для простых ${\displaystyle m}$ (с единственным исключением ${\displaystyle m=4}$). Например, число ${\displaystyle F_{13}=233}$ простое, и его индекс 13 также прост. Но, даже если число ${\displaystyle m}$ простое, число ${\displaystyle F_{m}}$ не всегда оказывается простым, и наименьший контрпример — ${\displaystyle F_{19}=4181=37\cdot 113.}$ Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
• Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен ${\displaystyle x^{2}-x-1}$ имеет корни ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}.}$
• Отношения ${\displaystyle {\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}}$ являются подходящими дробями золотого сечения ${\displaystyle \phi \colon }$ в частности, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}$
• Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы

  ${\displaystyle F_{n+1}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{n-k \choose k}.}$

• Нахождение числа Фибоначчи ${\displaystyle F_{n}}$ с помощью Бинома Ньютона ${\displaystyle F_{n}={1 \over 2^{n-1}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{n \choose 2k+1}5^{k}}$

• В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал,^[29] что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12:

  ${\displaystyle F_{0}=0^{2}=0,}$ ${\displaystyle F_{1}=1^{2}=1,}$ ${\displaystyle F_{2}=1^{2}=1,}$ ${\displaystyle F_{12}=12^{2}=144.}$

• Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

  ${\displaystyle x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

  • В частности, 1/998,999 = 0.001001002003005008013021…
• Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена

  ${\displaystyle z(x,y)=2xy^{4}+x^{2}y^{3}-2x^{3}y^{2}-y^{5}-x^{4}y+2y}$

на множестве неотрицательных целых чисел x и y^[30].

• Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
• Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа ${\displaystyle n}$ называется периодом Пизано и обозначается ${\displaystyle \pi (n)}$. Периоды Пизано ${\displaystyle \pi (n)}$ образуют последовательность:

  1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS).

  • В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом ${\displaystyle \pi (10)=60}$, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом ${\displaystyle \pi (100)=300}$, последние три цифры — с периодом ${\displaystyle \pi (1000)=1500,}$ последние четыре — с периодом ${\displaystyle \pi (10000)=15000,}$ последние пять — с периодом ${\displaystyle \pi (100000)=150000}$ и т. д.
• Натуральное число ${\displaystyle N}$ является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда ${\displaystyle 5N^{2}+4}$ или ${\displaystyle 5N^{2}-4}$ является квадратом^[31].
• Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи^[32].
• Число Фибоначчи ${\displaystyle F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}}$ равно количеству кортежей длины n из нулей и единиц, в которых нет двух соседних единиц. При этом ${\displaystyle F_{n+1}}$ равно количеству таких кортежей, начинающихся с нуля, а ${\displaystyle F_{n}}$ — начинающихся с единицы.
• Произведение любых ${\displaystyle n}$ подряд идущих чисел Фибоначчи делится на произведение первых ${\displaystyle n}$ чисел Фибоначчи.
• Бесконечная сумма чисел, обратных числам Фибоначчи, сходится, его сумма («обратная постоянная Фибоначчи») равна 3,359884…

• Числа трибоначчи
• Числа Фибоначчи являются частным случаем последовательностей Люка ${\displaystyle F_{n}=U_{n}(1,-1)}$.
  • При этом их дополнением являются числа Люка ${\displaystyle L_{n}=V_{n}(1,-1)}$.

Существует мнение, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны — это распространённый миф, который часто оказывается неточной подгонкой под желаемый результат^[34][35].