Перенос структуры

Поскольку математические структуры часто определяются относительно некоторого базового пространства, многие примеры переноса структуры связаны с пространствами и отображениями между ними. Например, если ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ — векторные пространства, причём на ${\displaystyle W}$ задано скалярное произведение, и существует изоморфизм ${\displaystyle \phi }$ из ${\displaystyle V}$ в ${\displaystyle W}$, то можно определить скалярное произведение на ${\displaystyle V}$ по следующему правилу:

${\displaystyle [v_{1},v_{2}]=(\phi (v_{1}),\phi (v_{2}))}$

Хотя это равенство имеет смысл и при произвольном ${\displaystyle \phi }$, оно определяет скалярное произведение на ${\displaystyle V}$ только тогда, когда ${\displaystyle \phi }$ является изоморфизмом. Идея состоит в том, что ${\displaystyle \phi }$ позволяет рассматривать ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ как «одно и то же» векторное пространство, и, следуя этой аналогии, можно перенести скалярное произведение с одного пространства на другое.

Более развёрнутый пример встречается в дифференциальной топологии, где используется понятие гладкого многообразия: если ${\displaystyle M}$ — такое многообразие, а ${\displaystyle X}$ — произвольное топологическое пространство, гомеоморфное ${\displaystyle M}$, то ${\displaystyle X}$ также можно рассматривать как гладкое многообразие. То есть, имея гомеоморфизм ${\displaystyle \phi \colon X\to M}$, можно определить координатные карты на ${\displaystyle X}$ путём «переноса» координатных карт с ${\displaystyle M}$ через ${\displaystyle \phi }$. Напомним, что координатная карта на ${\displaystyle M}$ — это открытое множество ${\displaystyle U}$ вместе с инъективным отображением

${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$

для некоторого натурального числа ${\displaystyle n}$; чтобы получить такую карту на ${\displaystyle X}$, используют следующие правила:

${\displaystyle U'=\phi ^{-1}(U)}$ и ${\displaystyle c'=c\circ \phi }$.

Кроме того, требуется, чтобы карты покрывали ${\displaystyle M}$ (тот факт, что перенесённые карты покрывают ${\displaystyle X}$, немедленно следует из того, что ${\displaystyle \phi }$ — биекция). Поскольку ${\displaystyle M}$ — гладкое многообразие, если U и V с отображениями ${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle d\colon V\to \mathbb {R} ^{n}}$ — две карты на ${\displaystyle M}$, то композиция, так называемое «переходное отображение»

${\displaystyle d\circ c^{-1}\colon c(U\cap V)\to \mathbb {R} ^{n}}$ (самоотображение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$)

является гладким. Чтобы проверить это для перенесённых карт на ${\displaystyle X}$, заметим, что

${\displaystyle \phi ^{-1}(U)\cap \phi ^{-1}(V)=\phi ^{-1}(U\cap V)}$,

и, следовательно,

${\displaystyle c'(U'\cap V')=(c\circ \phi )(\phi ^{-1}(U\cap V))=c(U\cap V)}$, и

${\displaystyle d'\circ (c')^{-1}=(d\circ \phi )\circ (c\circ \phi )^{-1}=d\circ (\phi \circ \phi ^{-1})\circ c^{-1}=d\circ c^{-1}}$.

Таким образом, переходное отображение для ${\displaystyle U'}$ и ${\displaystyle V'}$ совпадает с таковым для ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$, а значит, оно гладкое. То есть ${\displaystyle X}$ становится гладким многообразием посредством переноса структуры. Это частный случай переноса структур в общем случае^[2].

Второй пример также иллюстрирует, почему «перенос структуры» не всегда желателен. А именно, можно взять ${\displaystyle M}$ равным плоскости, а ${\displaystyle X}$ — бесконечному одностороннему конусу. «Разворачивая» конус, можно получить гомеоморфизм между ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle M}$, а значит, и структуру гладкого многообразия на ${\displaystyle X}$, однако конус не является «естественно» гладким многообразием. То есть, рассматривая ${\displaystyle X}$ как подмножество трёхмерного пространства, в этой ситуации оно не является гладким в вершине конуса.

Более удивительный пример связан с экзотическими сферами, открытыми Джоном Милнором, согласно которым существует ровно 28 гладких многообразий, гомеоморфных, но не диффеоморфных ${\displaystyle S^{7}}$ — 7-мерной сфере в 8-мерном пространстве. Таким образом, перенос структуры наиболее продуктивен, когда между двумя объектами существует канонический изоморфизм.