Ориентированная площадь (математика)

Математика Древней Месопотамии, Египта и Греции не имела явного понятия отрицательных чисел или ориентированных площадей, но оперировала понятиями фигур, ограниченных некоторыми линиями или кривыми, площади которых можно было вычислять или сравнивать, складывая фигуры или вырезая части, что по сути соответствовало сложению или вычитанию площадей^[1]. Это было формализовано в Книге I «Начал» Евклида, где приводятся несколько общих положений, включая «если к равным прибавить равные, то и целые будут равны» и «если из равных вычесть равные, то и остатки будут равны» (среди плоских фигур те, что имеют равные площади, назывались «равными»)^[2]. Предложения Книги I касаются свойств треугольников и параллелограммов, например, утверждается, что параллелограммы с одинаковым основанием и между одними и теми же параллелями равны, а любой треугольник с тем же основанием и между теми же параллелями имеет половину площади такого параллелограмма; также приводится построение параллелограмма, равновеликого любой «прямолинейной фигуре» (простой многоугольник) путём разбиения её на треугольники.^[3] Греческие геометры часто сравнивали площади фигур с помощью квадратуры (построения квадрата, равновеликого данной фигуре), а Книга II «Начал» показывает, как построить квадрат, равновеликий любому заданному многоугольнику.

Так же, как отрицательные числа упрощают решение алгебраических уравнений, устраняя необходимость рассматривать отдельные случаи для разных знаков, понятие ориентированной площади аналогично упрощает геометрические вычисления и доказательства. Вместо вычитания одной площади из другой можно сложить две ориентированные площади противоположной ориентации, и результат будет осмыслен вне зависимости от знака. Например, предложения II.12–13 «Начал» содержат геометрический прообраз закона косинусов, который разбивается на отдельные случаи в зависимости от того, является ли угол треугольника тупым или острым, поскольку соответствующий прямоугольник либо прибавляется, либо вычитается (значение косинуса угла отрицательно или положительно). Если разрешить прямоугольнику иметь ориентированную площадь, оба случая объединяются в один с единым доказательством (включая также прямоугольный случай, когда прямоугольник исчезает).

Как и в случае неориентированной площади простых многоугольников в «Началах», ориентированная площадь многоугольников на аффинной плоскости (включая многоугольники с дырами или самопересечениями) может быть удобно сведена к сумме ориентированных площадей треугольников, каждая из которых, в свою очередь, составляет половину ориентированной площади параллелограмма. Ориентированная площадь любого многоугольника может быть записана как вещественный коэффициент (ориентированная площадь фигуры), умноженный на ориентированную площадь выбранного многоугольника, объявленного единичным; в случае евклидовой плоскости это обычно единичный квадрат.

Одним из вычислительно простейших способов разбить произвольный многоугольник (заданный упорядоченным списком вершин) на треугольники является выбор произвольного начала координат и построение ориентированного треугольника между началом и каждой парой соседних вершин. Когда на плоскости задана декартова система координат, этот метод приводит к так называемой формуле «шнурков» XVIII века^[4].

У древних греков не было общего метода вычисления площадей фигур с криволинейными границами, а квадратура круга с помощью конечного числа шагов оставалась нерешённой задачей (её невозможность была доказана в XIX веке). Однако Архимед точно вычислил квадратуру параболы с помощью метода исчерпывания, суммируя бесконечно много площадей треугольников — прообраз современного интегрального исчисления, а также приблизил квадратуру круга, выполнив первые шаги аналогичного процесса.

Интеграл вещественной функции можно интерпретировать как ориентированную площадь между осью ${\displaystyle x}$ и графиком ${\displaystyle y=f(x)}$ на интервале . Площадь над осью ${\displaystyle x}$ считается положительной (), а под осью ${\displaystyle x}$ — отрицательной ()^[5].

Отрицательная площадь возникает, например, при изучении натурального логарифма как ориентированной площади под кривой ${\displaystyle y=1/x}$ для , то есть:^[6]

$${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=-\int _{x}^{1}{\frac {dt}{t}}<0.}$$

В дифференциальной геометрии знак площади области на поверхности связан с ориентацией поверхности^[7]. Площадь множества в дифференциальной геометрии вычисляется как интеграл плотности:

$${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}dx\wedge dy,}$$

$${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}$$

Ориентированные площади были связаны с определителями Феликсом Кляйном в 1908 году^[8]. Если треугольник задан тремя точками, его площадь равна:

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.}$$

${\displaystyle (x_{3},\ y_{3})=(0,0),}$

${\frac {x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}{2}}.$

Для рассмотрения площади сектора, ограниченного кривой, его можно аппроксимировать тонкими треугольниками с одной стороной, эквиполентной , площадь которых равна

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}0&0&1\\x&y&1\\x+dx&y+dy&1\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}(x\ dy-y\ dx).}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}(x\ dy-y\ dx).}$$

${\displaystyle x=\operatorname {ch} t,~y=-\operatorname {sh} t.}$

$${\displaystyle x\ dy-y\ dx=-\operatorname {ch} ^{2}t\ dt+\operatorname {sh} ^{2}t\ dt=-dt,}$$

$${\displaystyle {\frac {-1}{2}}\int _{0}^{\theta }dt=\left.{\frac {-t}{2}}\right|_{0}^{\theta }=-{\frac {\theta }{2}},}$$

В учебнике Михаила Постникова «Лекции по геометрии» (1979) рассматриваются некоторые геометрические преобразования — функции от пар координат ${\displaystyle (x,y)}$ — для описания «свободно плавающих элементарных площадей»^[9]. Сдвиг задаётся как одно из преобразований:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x,y)&\to (x,\ y+kx),\\(x,y)&\to (x+ky,\ y)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle (x,y)\to (\lambda x,\ y/\lambda )}$$

Утверждение: Если ${\displaystyle (a_{1},b_{1})=(ka+\ell b,\ k_{1}a+\ \ell _{1}b)}$ и

${\displaystyle \delta =k\ell _{1}-\ell k_{1}\neq 0,}$ то ${\displaystyle (a,b)\thicksim (a_{1},\ ({\frac {1}{\delta }})b_{1}).}$

доказательство: ${\displaystyle (a,\ b)\thicksim (a+{\frac {\ell }{k}}b,\ b)}$ сдвиг

${\displaystyle \thicksim (ka+\ell b,\ {\tfrac {1}{k}}b)}$ сжатие

${\displaystyle \thicksim (ka+\ell b,\ {\tfrac {1}{k}}b+{\frac {k_{1}}{k\delta }}(ka+\ell b))}$ сдвиг

${\displaystyle =(ka+\ell b,\ {\frac {k_{1}}{k\delta }}(ka+({\frac {\delta }{k_{1}}}+\ell )b)}$

${\displaystyle =(ka+\ell b,\ {\frac {1}{\delta }}(k_{1}a+\ell _{1}b))\ \ {\text{так как}}\ \ \ell +{\frac {\delta }{k_{1}}}={\frac {k}{k_{1}}}\ell _{1}}$

${\displaystyle =(a_{1},\ {\frac {1}{\delta }}b_{1}).}$