Фигуры на плоскости

• Планиметрия — раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости.
• Точка — основное понятие геометрии, не имеющее размеров, но определяющее положение на плоскости.

• Прямая — бесконечное множество точек, расположенных по прямой линии.

• Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются концами отрезка^[1].

• Луч — часть прямой, имеющая начало в точке и беспредельно продолжающаяся в одном направлении.

• Угол — фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки (вершины угла). Мера угла выражается в градусах или радианах.

• Многоугольники — плоские геометрические фигуры, ограниченные прямыми отрезками (сторонами), которые последовательно соединяются.

Три точки, не лежащие на одной прямой и соединённые отрезками образуют треугольник^[2].

Свойства треугольника

• Сумма внутренних углов треугольника равна ${\displaystyle 180^{\circ }}$.
• Площадь: ${\displaystyle S={\dfrac {1}{2}}ah}$, где ${\displaystyle a}$ — основание, ${\displaystyle h}$ — высота.

Четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. (Рис.1).

Рис.1

Свойства параллелограмма

• Противолежащие стороны параллелограмма равны.
• Противолежащие углы параллелограмма равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
• Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:

  ${\displaystyle \left|AO\right|=\left|OC\right|,\left|BO\right|=\left|OD\right|}$.

Является частным случаем параллелограмма, поскольку обладает всеми свойства и признаками параллелограмма.

Свойства квадрата

• Все стороны квадрата равны.
• Все углы по ${\displaystyle 90^{\circ }}$.
• Площадь квадрата: ${\displaystyle S=a^{2}}$.
• Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали ${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}.}$

Четырёхугольник, у которого все углы прямые (Рис.2). Каждый прямоугольник является параллелограммом.

Рис.2

Свойства

• Противоположные стороны прямоугольника равны.
• Стороны прямоугольника являются его высотами.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
• Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.
• Около любого прямоугольника можно описать окружность, причём диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон.

• Площадь прямоугольника равна произведению длины прямоугольника на его ширину — ${\displaystyle S=ab}$.
• Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины.

Параллелограмм, у которого все стороны равны.

• Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны.
• Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
• Высоты в ромбе равны между собой.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
• Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.
• Площадь: ${\displaystyle S={\dfrac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}}$, где ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ — диагонали.

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Свойства

• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна ${\displaystyle 180^{\circ }}$.
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, являются равновеликими [имеют одинаковую площадь].

Окружность — множество точек, равноудалённых от центра.

Уравнение окружности с центром в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$: ${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2}}$. Длина окружности: ${\displaystyle L=2\pi R}$.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.

Площадь круга: ${\displaystyle S=\pi R^{2}}$.

Фигуры на плоскости могут быть заданы уравнениями в декартовых координатах.

• Уравнение прямой — ${\displaystyle Ax+By+C=0}$

• Уравнение окружности — ${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2}}$

• Парабола — ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

• Эллипс — ${\displaystyle {\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\dfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$.

• Периметр — сумма длин всех сторон многоугольника.

Периметр треугольника: ${\displaystyle P=a+b+c}$

• Площадь — мера размера фигуры на плоскости.

 Площадь трапеции: ${\displaystyle S={\dfrac {1}{2}}(a+b)h}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — основания, ${\displaystyle h}$ — высота.
 Площадь общего многоугольника можно найти, разбивая его на известные фигуры.

 Осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя^[3]. Осевая симметрия плоскости является движением^[4].

Фигуры на плоскости являются фундаментальными элементами геометрии, изучение которых важно для понимания пространственных отношений и решения математических задач. Знание их свойств и характеристик необходимо для подготовки к экзаменам по математике профильного уровня.