Операция «Snub»

Джон Конвей исследовал обобщённые операции над многогранниками, определяя то, что называется теперь нотацией Конвея для многогранников, которая может быть применена к многогранникам и мозаикам. Конвей назвал операцию Коксетера semi-snub (полу-snub)^[2].

В этой нотации snub определяется как композиция двойственного и gyro операторов, ${\displaystyle s=dg}$, и это эквивалентно последовательности операторов альтернирования, усечения и ambo. Нотация Конвея избегает операции альтернирования, поскольку та применима только к многогранниками с гранями, имеющими чётное число сторон.

Плосконосые правильные фигуры

	Многогранники			Евклидовы мозаики		Гиперболические мозаики
Нотация Конвея	sT	sC = sO	sI = sD	sQ	sH = sΔ	sΔ7
Плосконосый многогранник	Тетраэдр	Куб или Октаэдр	Икосаэдр или Додекаэдр	Квадратная мозаика	Шестиугольная мозаика или Треугольная мозаика	Семиугольная мозаика или Треугольная мозаика порядка 7
Рисунок

В 4-мерных пространствах Конвей считает, что плосконосый 24-ячейник должен называться полуплосконосым 24-ячейником, поскольку он не представляет альтернированный всеусечённый 24-ячейник, как его аналог в 3-мерном пространстве. Вместо этого он является альтернированным усечённым 24-ячейником^[3].

Плосконосый куб, полученный из куба или кубооктаэдра

Исходное тело	Полноусечённый многогранник r	Усечённый многогранник t	Альтернированный многогранник h
Cube	Кубооктаэдр Полноусечённый куб	Усечённый кубооктаэдр Скошено-усечённый куб	Плосконосый кубооктаэдр Плосконосый полноусечённый куб
C	CO rC	tCO trC или trO	htCO = sCO htrC = srC
{4,3}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ или r{4,3}	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ или tr{4,3}	${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ htr{4,3} = sr{4,3}
	или	или	или

Терминология «snub» (отсечения вершин) Коксетера несколько отличается и означает альтернированное усечение, по которому плосконосый куб получается операцией snub (отсечение вершин) из кубооктаэдра, а плосконосый додекаэдр — из икосододекаэдра. Это определение используется в названиях двух тел Джонсона — плосконосый двуклиноид и плосконосая квадратная антипризма, а также в названиях многогранников более высокой размерности, таких как 4-мерный плосконосый 24-ячейник, или s{3,4,3}.

Правильный многогранник (или мозаика) с символом Шлефли, ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ и диаграммой Коксетера имеет усечение, определённое как ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ с диаграммой , и плосконосую форму, определённую как альтернированное усечение ${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ с диаграммой Коксетера . Это построение требует, чтобы q было чётным.

Квазиправильный многогранник ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ или r{p,q}, с диаграммой Коксетера или имеет квазиправильное усечение, определённое как ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ или tr{p,q} (с диаграммой Коксетера или ) и квазиправильную плосконосую форму, определённую как альтернированное усечение полного усечения ${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ или htr{p,q} = sr{p,q} (с диаграммой Коксетера или ).

Например, плосконосый куб Кеплера получается из квазирегулярного кубооктаэдра с вертикальным символом Шлефли ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ (и диаграммой Коксетера ) и более точно называется плосконосый кубооктаэдр, который выражается символом Шлефли ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ (с диаграммой Коксетера ). Плосконосый кубооктаэдр является альтернацией усечённого кубооктаэдра ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ ().

Правильные многогранники с чётным порядком вершин также могут быть приведены к плосконосой форме как альтернированное усечение, подобно как плосконосый октаэдр ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$ () (и плосконосый тетратетаэдр ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$, ) представляет псевдоикосаэдр, правильный икосаэдр с пиритоэдральной симметрией. Плосконосый октаэдр является альтернированной формой усечённого октаэдра, ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$ (), или в форме тетраэдральной симметрии: ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$ и .

	Усечённый t	Альтернированный h
Октаэдр O	Усечённый октаэдр tO	Плосконосый октаэдр htO или sO
{3,4}	t{3,4}	ht{3,4} = s{3,4}

Операция отсечения вершин (носов) Коксетера позволяет также определить n-антипризму как ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$ или ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$ на основе n-призм ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$ или ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$, а ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix}}}$ является правильным осоэдром, вырожденным многогранником, который является допустимой мозаикой на сфере с двуугольными или луноподобными гранями.

Плосконосые осоэдры, {2,2p}

Рисунок
Диаграммы Коксетера							... ...
Символ Шлефли	s{2,4}	s{2,6}	s{2,8}	s{2,10}	s{2,12}	Семиугольная антипризма	Восьмиугольная антипризма...	Бесконечноугольная антипризма
	sr{2,2} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}}$	sr{2,3} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$	sr{2,4} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$	sr{2,5} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}}$	sr{2,6} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\6\end{Bmatrix}}}$	sr{2,7} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\7\end{Bmatrix}}}$	sr{2,8}... ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\8\end{Bmatrix}}}$...	sr{2,∞} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\\infty \end{Bmatrix}}}$
Нотация Конвея	A2 = T	A3 = O	A4	A5	A6	A7	A8...	A∞

Тот же процесс применим для плосконосых мозаик:

Треугольная мозаика Δ	Усечённая треугольная мозаика tΔ	Плосконосая треугольная мозаика htΔ = sΔ
{3,6}	t{3,6}	ht{3,6} = s{3,6}

Примеры

Плосконосые фигуры на {p,4}

Пространство	Сферическое		Евклидово	Гиперболическое
Рисунок
Диаграмма Коксетера								...
Символ Шлефли	s{2,4}	s{3,4}	s{4,4}	Плосконосая пятипятиугольная мозаика	Плосконосая шестишестиугольная мозаика	Плосконосая семисемиугольная мозаика	Плосконосая восьмивосьмиугольная мозаика	...Плосконосая бесконечнобесконечноугольная мозаика

Квазиправильные плосконосые фигуры, основанные на r{p,3}

Пространство	Сферическая				Евклидово	Гиперболическое
Рисунок
Диаграмма Коксетере								...
Символ Шлефли	sr{2,3}	sr{3,3}	sr{4,3}	sr{5,3}	sr{6,3}	Плосконосая семиугольная мозаика	Плосконосая восьмиугольная мозаика	...Плосконосая бесконечноугольная мозаика
	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}7\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}8\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}\infty \\3\end{Bmatrix}}}$
Нотация Конвея	A3	sT	sC или sO	sD или sI	sΗ или sΔ

Квазирегулярные плосконосые формы, основанные на r{p,4}

Пространство	Сферическое		Евклидово	Гиперболическое
Рисунок
Диаграмма Коксетера								...
Символ Шлефли	sr{2,4}	sr{3,4}	sr{4,4}	Плосконосая четырёхпятиугольная мозаика	Плосконосая четырёхшестиугольная мозаика	Плосконосая четырёхсемиугольная мозаика	Плосконосая четырёхвосьмиугольная мозаика	...Плосконосая четырёхбесконечноугольная мозаика
	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}6\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}7\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}8\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}\infty \\4\end{Bmatrix}}}$
Нотация Конвея	A4	sC или sO	sQ

Неоднородные плосконосые многогранники

У неоднородных многогранников, для которых в вершины сходятся чётное число рёбер, могут быть отсечены вершины, включая некоторые бесконечные наборы, например:

Плосконосые бипирамиды sdt{2,p}

Плосконосая квадратная бипирамида
Плосконосая шестиугольная бипирамида

Плосконосые полноусечённые бипирамиды srdt{2,p}

Плосконосые антипризмы {2,2p}

Рисунок				...
Символ Шлефли	ss{2,4}	ss{2,6}	ss{2,8}	ss{2,10}...
	ssr{2,2} ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}}$	ssr{2,3} ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$	ssr{2,4} ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$	ssr{2,5}... ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}}$

Однородные плосконосые звёздчатые многогранники Коксетера

Плосконосые звёздчатые многогранники строятся по треугольнику Шварца (p q r) с рациональными зеркалами, в котором все зеркала активны и альтернированы.

Плосконосые однородные звёздчатые многогранники

s{3/2,3/2}	Малый плосконосый икосоикосододекаэдр	Плосконосый додекододекаэдр	Плосконосый икосоикосододекаэдр	Большой плосконосый икосоикосододекаэдр
Вывернутый плосконосый додекододекаэдр	Большой плосконосый додекоикосододекаэдр	Большой вывернутый плосконосый икосододекаэдр	Малый обратноплосконосый икосоикосододекаэдр	s{3/2,5/3}

Примеры

Существует лишь один однородный плосконосый многогранник в 4-мерном пространстве, Плосконосый 24-ячейник. Правильный двадцатичетырёхъячейник имеет символ Шлефли, ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$ и диаграмму Коксетера , а плосконосый 24-ячейник представляется символом ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$ и диаграммой диаграмма Коксетера . Он имеет также построение с более низкой симметрией с индексом 6 как ${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}}$ или s{3^1,1,1} и , и симметрией с индексом 3 как ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4\end{Bmatrix}}}$ или sr{3,3,4}, или .

Связанные Плосконосые 24-ячейные соты модно рассматривать как ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix}}}$ или s{3,4,3,3}, , тело с более низкой симметрией как ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4,3\end{Bmatrix}}}$ или sr{3,3,4,3} ( или ), и с наименьшей симметрией как ${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}}$ или s{3^1,1,1,1} ().

Евклидовыми сотами являются альтернированные шестиугольные пластинчатые соты, s{2,6,3} () или sr{2,3,6} () или sr{2,3^[3]} ().

Другими евклидовыми (равнорёберными) сотами являются альтернированные квадратные пластинчатые соты s{2,4,4} (and ) или sr{2,4^1,1} ():

Единственными однородными плосконосыми гиперболическими сотами являются плосконосые шестиугольные мозаичные соты, s{3,6,3} и , которые можно построить также как Альтернированные шестиугольные мозаичные соты, h{6,3,3}, . It is also constructed as s{3^[3,3]} and .

Другими гиперболическими (равнорёберными) сотами являются плосконосые октаэдральные соты порядка 4, s{3,4,4} и .