Полное усечение (геометрия)

Полное усечение является финальной стадией процесса усечения. На рисунке показаны четыре стадии непрерывного процесса усечения от правильного куба до полностью усечённого состояния:

Более высокие степени полного усечения могут быть осуществлены на правильных многогранниках более высоких размерностей. Наивысшая степень полного усечения создаёт двойственный многогранник. Спрямление усекает рёбра до точек. Двойное спрямление усекает (двумерные) грани до точек. В более высоких размерностях тройное спрямление усекает ячейки (трёхмерные грани) до точек, и так далее.

Последовательность на рисунке показывает двойное усечение куба как конечную стадию процесса от куба к двойственному октаэдру, при котором исходная грань усекается до точки:

Двойственный многоугольник — это то же самое, что и полностью усечённая его форма. Новые вершины располагаются в серединах сторон исходного многоугольника.

Любой правильный многогранник и его двойственный имеют один и тот же полностью усечённый многогранник. (Это не так для многогранников в пространствах размерности 4 и более.)

Полностью усечённый многогранник может быть получен как пересечение исходного правильного многогранника с подходящим образом масштабированной концентрической версии двойственного. По этой причине их имена строятся как комбинации имени исходного многогранника и его двойственного:

1. Полностью усечённый тетраэдр, двойственным которому является тетраэдр, носит имя тетратетраэдр, более известный как октаэдр.
2. Полностью усечённый октаэдр, двойственным которому является куб, носит имя кубооктаэдр.
3. Полностью усечённый икосаэдр, двойственным которому является додекаэдр, носит имя икосододекаэдр.
4. Полностью усечённый квадратный паркет — это квадратный паркет.
5. Полностью усечённый треугольный паркет, двойственным которому является шестиугольный паркет, носит имя тришестиугольный паркет.

Примеры

Семейство	Родитель	Полное усечение	Двойственный
[p,q]
[3,3]	Тетраэдр	Октаэдр	Тетраэдр
[4,3]	Куб	Кубооктаэдр	Октаэдр
[5,3]	Додекаэдр	Икосододекаэдр	Икосаэдр
[6,3]	Шестиугольная мозаика	Тришестиугольная мозаика	Треугольная мозаика
[7,3]	Семиугольная мозаика третьего порядка	Трисемиугольная мозаика	Треугольная мозаика седьмого порядка
[4,4]	Квадратная мозаика	Квадратная мозаика	Квадратная мозаика
[5,4]	Пятиугольная мозаика четвёртого порядка	Квадратно-пятиугольная мозаика	Квадратная мозаика пятого порядка

Если многогранник не является правильным, середины рёбер, окружающих вершину, могут не лежать в одной плоскости. Однако некая форма полного усечения остаётся возможной и в этом случае — любой многогранник имеет полиэдральный граф, как n-скелет (многогранника), и из этого графа можно образовать срединный граф путём помещения вершин в середины рёбер исходного графа и соединения двух новых вершин ребром, если они принадлежат последовательным рёбрам вдоль общей грани. Получившийся срединный граф остаётся полиэдральным, так что по теореме Штайница его можно представить в виде многогранника.

Эквивалент нотации Конвея для полного усечения — это ambo, обозначаемый буквой a. Применяя дважды aa, (спрямление после спрямления) — это конвеевская операция расширения, e, которая является той же операцией, что и операция скашивания Джонсона, t_0,2 для правильных многогранников и мозаик.

Любой выпуклый правильный 4-мерный многогранник имеет форму полного усечения, как однородный 4-мерный многогранник.

Правильный 4-мерный многогранник {p,q,r} имеет ячейки {p,q}. Его полное усечение даст два типа ячеек — полностью усечённые {p,q} многогранники, оставшиеся от исходных ячеек, и {q,r} многогранники как новые ячейки, образованные на местах отсечённых вершин.

Однако усечение {p,q,r} не совпадает с усечением {r,q,p}. Дальнейшее усечение, называемое двойным полным усечением, симметрично относительно 4-мерного многогранника и его двойственного. Смотрите Однородный 4-мерный многогранник.

Примеры

Семейство	Родитель	Полное усечение	Двойное полное усечение (Усечение двойственного)	Тройное полное усечение (Двойственный)
[p,q,r]
[3,3,3]	Пятиячейник	Полностью усечённый пятиячейник	Полностью усечённый пятиячейник	Пятиячейник
[4,3,3]	тессеракт	Полностью усечённый тессеракт	Полностью усечённый шестнадцатиячейник (двадцатичетырёхячейник)	Шестнадцатиячейник
[3,4,3]	Двадцатичетырёхячейник	Полностью усечённый 24-ячейник	Полностью усечённый 24-ячейник	Двадцатичетырёхячейник
[5,3,3]	Стодвадцатиячейник	Полностью усечённый 120-ячейник	Полностью усечённый 600-ячейник	Шестисотячейник
[4,3,4]	Кубические соты	Полностью усечённые кубические соты	Полностью усечённые кубические соты	Кубические соты
[5,3,4]	Додекаэдральные соты 4-го порядка	Полностью усечённые додекаэдральные соты 4-го порядка	Полностью усечённые кубические соты 5-го порядка	Кубические соты 5-го порядка

Первое полное усечение усекает рёбра до точек. Если многогранник является правильным, эта форма представляется расширенным символом Шлефли t₁{p,q,...} или r{p,q,...}.

Второе полное усечение, или двойное спрямление, усекает грани до точек. Если многогранник правильный, двойное полное усечение обозначается t₂{p,q,...} или 2r{p,q,...}. Для 3-мерных многогранников двойное полное усечение даёт двойственный многогранник.

Более высокие степени полного усечения можно построить для многогранников в пространствах размерности 4 и выше. В общем случае, уровень полного усечения n отсекает n-мерные грани до точек.

Если многогранник в n-мерном пространстве полностью усечён до степени (n-1), его фасеты (грани размерности n-1) усекаются до точки и он становится двойственным исходному.

Существует три различных эквивалентных обозначения для каждой степени полного усечения. Таблицы ниже показывают имена по размерности и два типа фасет для каждого.

Фасеты — это рёбра, представленные как {2}.

название {p}	Диаграмма Коксетера	t-запись Символ Шлефли	Вертикальный символ Шлефли
			Название	Фасет-1	Фасет-2
Родитель		t0{p}	{p}	{2}
Полностью усечённый		t1{p}	{p}		{2}

Фасеты являются правильными многоугольниками.

Название {p,q}	Диаграмма Коксетера	t-запись Символ Шлефли	Вертикальный символ Шлефли
			Название	Фасет-1	Фасет-2
Родитель		t0{p,q}	{p,q}	{p}
Полностью усечённый		t1{p,q}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ = r{p,q}	{p}	{q}
Дважды усечённый		t2{p,q}	{q,p}		{q}

Фасеты — правильные или полностью усечённые многогранники.

название {p,q,r}	Диаграмма Коксетера	t-запись Символ Шлефли	Расширенный символ Шлефли
			Название	Фасет-1	Фасет -2
Родитель		t0{p,q,r}	{p,q,r}	{p,q}
Rectified		t1{p,q,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix}}}$ = r{p,q,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ = r{p,q}	{q,r}
Дважды полностью усечённый (Полностью усечённый двойственный)		t2{p,q,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix}}}$ = r{r,q,p}	{q,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q\\r\end{Bmatrix}}}$ = r{q,r}
Трихды полностью усечённый (Двойственный)		t3{p,q,r}	{r,q,p}		{r,q}

Фасеты являются правильными или полностью усечёнными четырёхмерными многогранниками.

Название {p,q,r,s}	Диаграмма Коксетера	t-запись символа Шлефли	Расширенный символ Шлефли
			Название	Фасет-1	Фасет -2
Родитель		t0{p,q,r,s}	{p,q,r,s}	{p,q,r}
Полностью усечённый		t1{p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \ \ \ \\q,r,s\end{Bmatrix}}}$ = r{p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix}}}$ = r{p,q,r}	{q,r,s}
Дважды полностью усечённый (Дважды полностью усечённый двойственный)		t2{p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r,s\end{Bmatrix}}}$ = 2r{p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix}}}$ = r{r,q,p}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q\ \ \\r,s\end{Bmatrix}}}$ = r{q,r,s}
Трижды полностью усечённый (Полностью усечённый двойственный)		t3{p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}r,q,p\\s\ \ \ \ \ \end{Bmatrix}}}$ = r{s,r,q,p}	{r,q,p}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}r,q\\s\ \ \end{Bmatrix}}}$ = r{s,r,q}
Четырежды полностью усечённый (двойственный)		t4{p,q,r,s}	{s,r,q,p}		{s,r,q}