Квазиправильный многогранник

Правильные (p | 2 q) и квазиправильные многогранники (2 | p q) получаются построением Витхоффа с генераторной точкой на одном из 3 углов фундаментальной области. Это задаёт единственное ребро внутри фундаментальной области.

Коксетер определяет квазиправильный многогранник как многогранник, имеющий Символ Витхоффа вида p | q r, и он будет правильным, если q=2 или q=r ^[3].

Диаграммы Коксетера — Дынкина является другой формой символического представления, которое позволяет показать связь между двумя двойственно-правильными формами:

Символ Шлефли		Диаграммы Коксетера — Дынкина	Символ Витхоффа
${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$	{p, q}		q | 2 p
${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}}$	{q, p}		p | 2 q
${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	r{p, q}		2 | p q

Существует два выпуклых квазиправильных многогранника:

1. Кубооктаэдр ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$, вершинная конфигурация (3.4)², диаграмма Коксетера — Дынкина
2. Икосододекаэдр ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\5\end{Bmatrix}}}$, вершинная конфигурация (3.5)², диаграмма Коксетера — Дынкина

Кроме того, октаэдр, являющийся также правильным, ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$, с вершинной конфигурацией (3.3)², может также считаться квазиправильным, если соседним граням дать различные цвета. В таком виде его иногда называют тетратетраэдром. Оставшиеся выпуклые правильные многогранники имеют нечётное число граней при каждой вершине и не могут быть выкрашены так, чтобы обеспечить транзитивность рёбер. Тетратетраэдр имеет диаграмму Коксетера — Дынкина .

Каждый из них образует общее ядро двойственной пары правильных многогранников. Имена (двух из) этих ядер напоминают о связанных двойственных парах, соответственно куб + октаэдр и икосаэдр + додекаэдр. Октаэдр является ядром двойственной пары тетраэдров, и при таком способе получения обычно называют его тетратетраэдром.

Правильный	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3	Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3	Тетратетраэдр r{3,3} 2 | 3 3	3.3.3.3
Куб {4,3} 3 | 2 4	Октаэдр {3,4} 4 | 2 3	Кубооктаэдр r{3,4} 2 | 3 4	3.4.3.4
Додекаэдр {5,3} 3 | 2 5	Икосаэдр {3,5} 5 | 2 3	Икосододекаэдр r{3,4} 2 | 3 5	3.5.3.5

Каждый из этих квазиправильных многогранников можно построить с помощью полного усечения любого из родителей, усекая рёбра полностью, пока они не превратятся в точки.

Квазиправильные мозаики

Эту последовательность продолжает тришестиугольная мозаика с вершинной фигурой 3.6.3.6 — квазиправильная мозаика, основанная на треугольной мозаике и шестиугольной мозаике.

Правильный многоугольник	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
шестиугольная мозаика {6,3} 6 | 2 3	треугольная мозаика {3,6} 3 | 2 6	тришестиугольная мозаика r{5,3} 2 | 3 6	3.6.3.6

Рисунок шахматной доски является квазиправильной раскраской квадратной мозаики с вершинной фигурой 4.4.4.4:

Правильный многоугольник	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
{4,4} 4 | 2 4	{4,4} 4 | 2 4	r{4,4} 2 | 4 4	4.4.4.4

Треугольную мозаику можно также считать квазиправильной, с тремя множествами альтернированных треугольников в каждой вершине, (3.3)³:

h{6,3} 3 | 3 3 =

На гиперболической плоскости (плоскости Лобачевского) эта последовательность продолжается дальше, например, трисемиугольная мозаика с вершинной фигурой 3.7.3.7 — это квазиправильная мозаика, основанная на треугольной мозаике 7-го порядка и семиугольной мозаике.

Правильный многоугольник	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
Семиугольная мозаика {7,3} 7 | 2 3	Треугольный паркет {3,7} 3 | 2 7	Трисемиугольная мозаика r{3,7} 2 | 3 7	3.7.3.7

Коксетер и др. (1954) классифицировали также некоторые звёздчатые многогранники, имеющие квазиправильные характеристики:

Два многогранника основываются на двойственных парах правильных тел Кеплера — Пуансо.

Большой икосододекаэдр ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\5/2\end{Bmatrix}}}$ и додекододекаэдр ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}5\\5/2\end{Bmatrix}}}$:

Правильный	Двойственный правильный	Квазиправильный	Вершинная фигура
Большой звёздчатый додекаэдр {5/2,3} 3 | 2 5/2	Большой икосаэдр {3,5/2} 5/2 | 2 3	Большой икосододекаэдр r{3,5/2} 2 | 3 5/2	3.5/2.3.5/2
Малый звёздчатый додекаэдр {5/2,5} 5 | 2 5/2	Большой додекаэдр {5,5/2} 5/2 | 2 5	Додекододекаэдр r{5,5/2} 2 | 5 5/2	5.5/2.5.5/2

Наконец, существует три битригональных вида, вершинные фигуры которых содержат три перемежающихся типа граней:

Рисунок	Название многогранника Символ Витхоффа Диаграмма Коксетера	Вершинная фигура
	Битреугольный додекододекаэдр 3 | 5/3 5 or	(5.5/3)3
	Малый битреугольный икосододекаэдр 3 | 5/2 3 or	(3.5/2)3
	Большой битреугольный икосододекаэдр 3/2 | 3 5 or	((3.5)3)/2

Некоторые авторы высказывают мнение, что, поскольку двойственные многогранники к квазиправильным имеют те же симметрии, эти двойственные тела тоже следует считать квазиправильными, но не все математики придерживаются такого мнения. Эти двойственные многогранники транзитивны относительно своих рёбер и граней (но не вершин). Они являются рёберно транзитивными телами Каталана. Выпуклые формы, согласно порядку многогранника (как выше):

1. Ромбододекаэдр с двумя типами перемежающихся вершин, 8 вершин с тремя ромбическими гранями, и 6 вершин с четырьмя ромбическими гранями.
2. Ромботриаконтаэдр с двумя типами перемежающихся вершин, 20 вершин с тремя ромбическими гранями, и 12 вершин с пятью ромбическими гранями.

Кроме того, будучи двойственным октаэдру, куб, являющийся правильным, может быть сделан квазиправильным, если раскрасить его вершины в два цвета, так, чтобы вершины на одном ребре имели разные цвета.

Их конфигурация грани имеет вид V3.n.3.n, а диаграмма Коксетера — Дынкина

Куб V(3.3)2	Ромбододекаэдр V(3.4)2	Ромботри- аконтаэдр V(3.5)2	Ромбическая мозаика V(3.6)2	V(3.7)2	V(3.8)2

Эти три квазиправильных двойственных многогранника характерны наличием ромбических граней.

Эта ромбическая структура граней продолжает V(3.6)², ромбическая мозаика.

В евклидовом 4-мерном пространстве правильный шестнадцатиячейник можно считать квазиправильным как альтернированный тессеракт, h{4,3,3}, Диаграммы Коксетера — Дынкина: = , состоящий из альтернированных тетраэдраэдральных и тетраэдральных ячеек. Его вершинная фигура — это квазиправильный тетратетраэдр (октаэдр с тетраэдральной симметрией), .

Единственные квазиправильные соты в евклидовом 3-мерном пространстве — альтернированные кубические соты, h{4,3,4}, диаграмма Коксетера — Дынкина: = , состоящие из альтернированных тетраэдральных и октаэдральных ячеек. Их вершинные фигуры являются квазиправильными кубооктаэдрами, ^[4].

В гиперболическом 3-мерном пространстве квазиправильными сотами являются альтернированные кубические соты 5-го порядка, h{4,3,5}, диаграммы Коксетера — Дынкина: = , составленные из альтернированных тетраэдральных и икосаэдральных ячеек. Вершинная фигура — квазиправильный икосододекаэдр, . Связанные паракомпактные альтернированные кубические соты 6-го порядка, h{4,3,6} имеют альтернированные тетраэдральные и шестиугольные мозаичные ячейки с вершинной фигурой, которая является тришестиугольной мозаикой, .

Квазиправильные многогранники и соты: h{4,p,q}

Пространство	Конечное	Аффинное	Компактное	Паракомпактное
Название	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
	${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 4}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 5}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 6}\right\}}$	${\displaystyle \left\{4,{3 \atop 4}\right\}}$	${\displaystyle \left\{4,{4 \atop 4}\right\}}$
Диаграмма Коксетера
Рисунок
Вершинная фигура r{p,3}

Можно уменьшить симметрию правильных многогранных сот вида {p,3,4} или как и получить квазиправильный вид , создавая попеременную раскраску {p,3} ячеек. Это можно сделать для евклидовых кубических сот {4,3,4} с кубическими ячейками, для компактных гиперболических сот {5,3,4} с додекаэдральными ячейками и паракомпактных сот {6,3,4} с конечными шестиугольными мозаичными ячейками. Они имеют четыре ячейки вокруг каждого ребра, попеременно выкрашенные в 2 цвета. Их вершинные фигуры — квазиправильные тетраэдры, = .

Правильные и квазиправильные соты: {p,3,4} и {p,3^1,1}

Пространство	Евклидово 4-мерное	Евклидово 3-мерное	Гиперболическое 3-мерное
Название	{3,3,4} {3,31,1} = ${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 3}\right\}}$	{4,3,4} {4,31,1} = ${\displaystyle \left\{4,{3 \atop 3}\right\}}$	{5,3,4} {5,31,1} = ${\displaystyle \left\{5,{3 \atop 3}\right\}}$	{6,3,4} {6,31,1} = ${\displaystyle \left\{6,{3 \atop 3}\right\}}$
Диаграмма Коксетера	=	=	=	=
Рисунок
Ячейки {p,3}

Таким же образом можно уменьшить вдвое симметрию правильных гиперболических сот вида {p,3,6} или как и получить квазиправильный вид , задавая попеременную раскраску {p,3} ячеек. Они имеют шесть ячеек вокруг каждого ребра, поочерёдно выкрашенные в 2 цвета. Их вершинные фигуры — квазиправильные треугольные мозаики, .

Гиперболические однородные соты: {p,3,6} и {p,3^[3]}

Вид	Паракомпактные				Некомпактные
Название	{3,3,6} {3,3[3]}	{4,3,6} {4,3[3]}	{5,3,6} {5,3[3]}	{6,3,6} {6,3[3]}	{7,3,6} {7,3[3]}	{8,3,6} {8,3[3]}	... {∞,3,6} {∞,3[3]}
Рисунок
Ячейки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}