АссистентНовый вопросИсторияОбласти знаний
Партнёрские проектыМатериалы БРЭСпецпроектыСтать автором
Настроить видСменить языкИнформация
О РУВИКИ
Ответ на вопрос

Контрпример

Pause

Контрпример — конкретный пример, опровергающий утверждение, гипотезу или обобщение. В логике контрпример опровергает универсально сформулированное утверждение, причём делает это строго в областях математики и философии[1]. Например, утверждение «студент Джон Смит не ленив» является контрпримером к обобщению «студенты ленивы», а также контрпримером и опровержением универсального утверждения «все студенты ленивы»[2].

В математике

В математике контрпримеры часто используются для установления границ возможных теорем. С помощью контрпримеров, показывающих ложность некоторых гипотез, исследователи могут избежать бесплодных направлений и научиться модифицировать гипотезы так, чтобы получить доказуемые теоремы. Иногда говорят, что развитие математики в основном состоит в нахождении (и доказательстве) теорем и контрпримеров[3].

Пример с прямоугольником

Пусть математик изучает геометрию и фигуры, и она хочет доказать некоторые теоремы о них. Она гипотезирует, что «все прямоугольники — это квадраты», и ей интересно узнать, верно ли это утверждение.

В этом случае она может попытаться доказать истинность утверждения с помощью дедуктивного рассуждения, либо попытаться найти контрпример, если подозревает, что утверждение ложно. В последнем случае контрпримером будет прямоугольник, который не является квадратом, например, прямоугольник со сторонами длины 5 и 7. Однако, несмотря на то, что были найдены прямоугольники, не являющиеся квадратами, все найденные прямоугольники имели четыре стороны. Тогда она формулирует новую гипотезу: «все прямоугольники имеют четыре стороны». Это логически более слабое утверждение по сравнению с исходной гипотезой, поскольку каждый квадрат имеет четыре стороны, но не каждая четырёхугольная фигура является квадратом.

Приведённый выше пример — в упрощённой форме — показывает, как математик может ослабить свою гипотезу под воздействием контрпримеров, однако контрпримеры также могут использоваться для демонстрации необходимости определённых предположений и гипотез. Например, предположим, что спустя некоторое время математик сформулировала новую гипотезу: «все фигуры, которые являются прямоугольниками и имеют четыре стороны равной длины, — это квадраты». Эта гипотеза содержит два условия: фигура должна быть «прямоугольником» и иметь «четыре стороны равной длины». Математику теперь интересно узнать, можно ли убрать какое-либо из условий, сохранив истинность гипотезы. Для этого нужно проверить истинность следующих двух утверждений:

  1. «Все фигуры, которые являются прямоугольниками, — это квадраты».
  2. «Все фигуры, которые имеют четыре стороны равной длины, — это квадраты».

Контрпример к (1) уже был приведён выше, а контрпример к (2) — это ромб, не являющийся квадратом. Таким образом, математик теперь знает, что каждое из условий по отдельности недостаточно.

Другие математические примеры

Контрпримером к утверждению «все простые числа — нечётные» является число 2, так как оно простое, но не нечётное[1]. Ни число 7, ни 10 не являются контрпримером, так как ни одно из них не опровергает утверждение. В данном примере 2 — единственный возможный контрпример, хотя этого достаточно для опровержения утверждения. Аналогично, утверждение «все натуральные числа либо простые, либо составные» опровергается числом 1, так как 1 не является ни простым, ни составным.

Гипотеза Эйлера о сумме степеней была опровергнута контрпримером. Она утверждала, что для представления числа в виде суммы n-ых степеней необходимо не менее n n-ых степеней. Эта гипотеза была опровергнута в 1966 году[4], когда был найден контрпример для n = 5; сейчас известны и другие контрпримеры для n = 5, а также некоторые для n = 4[5].

Контрпример Витсенхаузена показывает, что не всегда (для задач управления) квадратичная функция потерь и линейное уравнение эволюции переменной состояния приводят к оптимальным законам управления, которые являются линейными.

Все изометрии евклидовой плоскости являются отображениями, сохраняющими площадь, но обратное утверждение ложно, что показывают контрпримеры — сдвиг и сжатие.

Другие примеры включают опровержения гипотезы Зайферта, гипотезы Пойи, гипотезы Гильберта о четырнадцатой проблеме, гипотезы Тейта и гипотезы Ганеа.

В философии

В философии контрпримеры обычно используются для опровержения определённой философской позиции, показывая, что она не применима в некоторых случаях. Альтернативно, первый философ может модифицировать своё утверждение так, чтобы контрпример больше не был применим; это аналогично тому, как математик модифицирует гипотезу из-за контрпримера.

Например, в диалоге Платона «Горгий» Калликл утверждает, что те, кто физически сильнее или способнее, по природе имеют право властвовать над слабыми. Сократ возражает, предлагая считать, что простые люди, благодаря своей численности, могут быть «сильнее» аристократического меньшинства, даже если массы prima facie хуже по характеру. Это является контрпримером к утверждению Калликла, так как понятие силы переносится с индивидуального превосходства на коллективную мощь. Таким образом, аргумент Калликла терпит неудачу при такой интерпретации, если только он не пересмотрит своё утверждение[6].

Калликл может оспорить контрпример Сократа, утверждая, например, что простолюдины действительно лучше знати, или что даже в большом количестве они всё равно не сильнее. Но если Калликл принимает контрпример, то он должен либо отказаться от своего утверждения, либо модифицировать его так, чтобы контрпример больше не был применим. Например, он может изменить утверждение, касаясь только отдельных лиц, что требует рассматривать простых людей как совокупность индивидов, а не как толпу. В итоге он меняет своё утверждение, говоря о «более мудрых» вместо «более сильных», утверждая, что никакое численное превосходство не делает людей мудрее.

См. также

Примечания

  1. ↑ 1 2 Mathwords: Counterexample. www.mathwords.com. Дата обращения: 28 ноября 2019.
  2. ↑ Weisstein, Eric W. Counterexample (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 ноября 2019.
  3. ↑ What Is Counterexample? www.cut-the-knot.org. Дата обращения: 28 ноября 2019.
  4. ↑ Lander, Parkin (1966). “Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers” (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. Americal Mathematical Society. 72 (6): 1079. DOI:10.1090/s0002-9904-1966-11654-3. ISSN 0273-0979. Дата обращения 2018-08-02.
  5. ↑ Elkies, Noam (1988-10). “On A4 + B4 + C4 = D4” (PDF). Mathematics of Computation. 51 (184): 825—835. Проверьте дату в |date= (справка на английском)
  6. ↑ Plato. Gorgias. — New York : Liberal Arts Press, 1952. — P. 488e-489a.

Литература

  • Имре Лакатош, Доказательства и опровержения (1976) Cambridge University Press ISBN 0521290384
  • Джеймс Франклин и Альберт Дауд (2011) Proof in Mathematics: An Introduction, Kew, Sydney ISBN 978-0-646-54509-7, гл. 6.
  • Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший (1978) Контрпримеры в топологии, Springer, New York ISBN 0-486-68735-X.
  • Джозеф П. Романо и Эндрю Ф. Сигел (1986) Counterexamples in Probability and Statistics Chapman & Hall, New York, London ISBN 0-412-98901-8.
  • Гэри Л. Уайз и Эрик Б. Холл (1993) Counterexamples in Probability and Real Analysis. Oxford University Press, New York ISBN 0-19-507068-2.
  • Бернард Р. Гелбаум, Джон М. Х. Олмстед (2003) Counterexamples in Analysis. Исправленное переиздание второго (1965) издания, Dover Publications, Mineola, NY ISBN 0-486-42875-3.
  • Джордан М. Стоянов (1997) Counterexamples in Probability Второе издание, Wiley, Chichester ISBN 0-471-96538-3.
  • Майкл Копобианко и Джон Муллуццо (1978) Examples and Counterexamples in Graph Theory, Elsevier North-Holland ISBN 0-444-00255-3.

Категории

Pause