Гипотеза Эйлера

В 1966 году Л. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж с помощью суперкомпьютера CDC 6600 нашли первый контрпример для n = 5:^[1][2]

${\displaystyle 27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.}$

В 1986 году Ноам Элкис нашёл контрпример для случая n = 4:^[3][4]

${\displaystyle 2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}.}$

В 1988 году Роджер Фрай (англ. Roger Frye) нашёл наименьший контрпример для n = 4:^[5][4]

${\displaystyle 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}.}$

В 1966 году Л. Д. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Р. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж высказали гипотезу, что если ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$, где ${\displaystyle a_{i}\neq b_{j}}$ — положительные целые числа, ${\displaystyle i={\overline {1,n}},j={\overline {1,m}}}$, то ${\displaystyle m+n\geqslant k}$.

В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}$, то ${\displaystyle n\geqslant k-1}$.

Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$, где ${\displaystyle a_{i}\neq b_{j}}$, называется (k,n,m)-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров k, n, m занимаются проекты распределённых вычислений EulerNet^[6] и yoyo@home.