Сжимающее отображение

Пусть на метрическом пространстве ${\displaystyle (\mathbb {M} ,\rho )}$ определён оператор ${\displaystyle A:\mathbb {M} \to \mathbb {M} }$. Он называется сжимающим на ${\displaystyle \mathbb {M} }$, если существует такое неотрицательное число ${\displaystyle \alpha <1}$, что для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in \mathbb {M} }$ выполняется неравенство

${\displaystyle {\rho (Ax,Ay)\leqslant \alpha {\cdot }\rho (x,y)}}$.

Аналогичное определение для отображения.

Пусть ${\displaystyle \left(\mathbb {M} ,\,d\right)}$ — полное метрическое пространство (ПМП). Отображение ${\displaystyle f\colon \mathbb {M} \to \mathbb {M} }$ ПМП ${\displaystyle \mathbb {M} }$ в себя называется сжимающим, если существует ${\displaystyle \alpha \in \left(0,1\right)}$ такое, что для всех ${\displaystyle x,\,y\in \mathbb {M} }$ имеет место неравенство:

${\displaystyle {d\left(f\left(x\right),\,f\left(y\right)\right)\leqslant \alpha {\cdot }d\left(x,\,y\right)}.}$

Число ${\displaystyle \alpha }$ часто называют коэффициентом сжатия.

Если число ${\displaystyle \alpha }$ равно 1, то есть отображение не сжимающее.

Пусть ${\displaystyle \left(\mathbb {M} ,\,d\right)}$ — ПМП. Пусть ${\displaystyle A\colon \mathbb {M} \to \mathbb {M} }$ — сжимающее отображение ${\displaystyle \mathbb {M} }$ в себя. Тогда уравнение ${\displaystyle x=A\left(x\right)}$ имеет единственное решение ${\displaystyle x^{\ast }\in \mathbb {M} }$, причём

${\displaystyle x^{\ast }=\lim _{n\to \infty }X}$

• (Непрерывность) Пусть ${\displaystyle (\mathbb {M} ,\rho )}$ — метрическое пространство и ${\displaystyle \mathbb {} A}$ — сжимающий оператор на ${\displaystyle \mathbb {M} }$. Тогда ${\displaystyle \mathbb {} A}$ — непрерывная функция на ${\displaystyle \mathbb {M} }$.

• (Неподвижная точка) По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка:

${\displaystyle \mathbb {} x^{*}:Ax^{*}=x^{*}}$.

• (Итерационная последовательность) Если взять произвольный элемент метрического пространства ${\displaystyle x}$ и рассмотреть последовательность элементов ${\displaystyle x,Ax,A^{2}x,....}$, то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке оператора ${\displaystyle A}$.

• Численное решение уравнений
• Доказательство теорем существования и единственности в дифференциальных и интегральных уравнениях.