Коммутатор (алгебра)

Коммутативность

Коммутативность или переместительный закон — свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами: ${\displaystyle a+b=b+a}$; ${\displaystyle ab=ba}$. В общем случае бинарная операция ${\displaystyle a\cdot b}$ называется коммутативной, если ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$. Свойством коммутативности обладают, например, сложение и умножение многочленов. Векторное умножение и умножение матриц не являются коммутативными.

Коммутативная группа

Коммутативная группа или абелева группа — группа, операция в которой удовлетворяет закону коммутативности. Определяющая операция в такой группе часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

• пишут «${\displaystyle a+b}$» и называют получившийся элемент суммой элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$;
• нейтральный элемент обозначают как «${\displaystyle 0}$» и называют его нулём;
• обратный элемент к ${\displaystyle a}$ обозначают как «${\displaystyle -a}$» и называют его противоположным к ${\displaystyle a}$ элементом;
• запись сокращают следующим образом: ${\displaystyle a+(-b)=a-b}$;
• выражения вида ${\displaystyle a+a}$, ${\displaystyle a+a+a}$,${\displaystyle -a-a}$ обозначают символами ${\displaystyle 2a}$, ${\displaystyle 3a}$, ${\displaystyle -2a}$.

• результат операции называют произведением и записывают ${\displaystyle a\cdot b}$ или ${\displaystyle ab}$;
• нейтральный элемент обозначается «${\displaystyle 1}$» или ${\displaystyle e}$ и называется единицей;
• обратный к ${\displaystyle a}$ элемент записывается как ${\displaystyle a^{-1}}$^[1].

Коммутант

Коммутант группы ${\displaystyle G}$, производная группы ${\displaystyle G}$ — подгруппа, порождаемая всевозможными коммутаторами элементов группы ${\displaystyle G}$, то есть элементами вида ${\displaystyle a^{-1}b^{-1}ab}$, ${\displaystyle a,b\in G}$. Обычно коммутант группы ${\displaystyle G}$ обозначается ${\displaystyle (G,G)}$ или ${\displaystyle G'}$. Любая подгруппа, содержащая коммутант, является нормальным делителем в ${\displaystyle G}$^[2].

Коммутатор элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ мульти-операторной группы — элемент ${\displaystyle -a-b+a+b}$. Для групп без мульти-операторов (где операцию принято называть умножением) коммутатором элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ будет элемент ${\displaystyle a^{-1}b^{-1}ab}$. Множество всевозможных коммутаторов в группе ${\displaystyle G}$ порождает подгруппу, называемую коммутантом группы ${\displaystyle G}$^[3] . Для образования коммутанта достаточно брать произведения коммутаторов. Коммутант тривиален тогда и только тогда, когда группа ${\displaystyle G}$ абелева^[4].

1. ${\displaystyle (x,y)=e\Leftrightarrow xy=yx}$;
2. ${\displaystyle (x,y)^{-1}=(y,x)}$^[4].

Также правильный коммутатор — объект, построенный индуктивно из элементов данного множества ${\displaystyle R}$ и из скобок следующим образом. Элементы из ${\displaystyle R}$ считаются, по определению, базисными коммутаторами длины ${\displaystyle 1}$ и произвольно линейно упорядочиваются.

Пусть базисные коммутаторы длин, меньших ${\displaystyle n}$, где ${\displaystyle n>1}$ — целое число, определены и упорядочены. Если ${\displaystyle a,b}$ суть базисных коммутаторов длин, меньших ${\displaystyle n}$, то ${\displaystyle [ab]}$ считается базисным коммутатор длины ${\displaystyle n}$ тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1. ${\displaystyle a,b}$ суть базисные коммутаторы длины ${\displaystyle k,l}$, соответственно, ${\displaystyle k+l=n}$;
2. ${\displaystyle a>b}$;
3. если ${\displaystyle a=[cd]}$, то ${\displaystyle d\leqslant b}$.

Полученные базисные коммутаторы длины, не превосходящей ${\displaystyle n}$, упорядочивают произвольно с выполнением условия ${\displaystyle [ab]>b}$, сохраняя порядок базисных коммутаторов длин, меньших ${\displaystyle n}$. Любое построенное таким образом множество базисных коммутаторов есть база свободной алгебры Ли с множеством свободных образующих ${\displaystyle R}$^[5].

В ассоциативной алгебре коммутатор элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ называют произведение Ли ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$^[3]. В ассоциативной алгебре верны также следующие тождества:

• ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$. Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора ${\displaystyle D_{A}=[A,\cdot ].}$ По этой причине оператор ${\displaystyle D_{A}}$ называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор ${\displaystyle {\tilde {D}}_{A}=[\cdot ,A].}$
• Тождество Якоби: ${\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.}$ Алгебра, удовлетворяющая тождеству Якоби, называется алгеброй Ли. Таким образом, из любой ассоциативной алгебры можно получить алгебру Ли, если определить умножение в новой алгебре как коммутатор элементов старой алгебры.
• Антикоммутативность: ${\displaystyle [A,B]=-[B,A].}$ Из этого тождества следует что ${\displaystyle [A,A]=0}$ для любого оператора ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle [AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0.}$ Это тождество представляет собой другую запись тождества Якоби.
• ${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
• ${\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}$
• ${\displaystyle [AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}$
• ${\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
• ${\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}$
• ${\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}$
• ${\displaystyle [[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]=[[A,C],[B,D]]}$
• ${\displaystyle e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \equiv e^{\operatorname {ad} (A)}B.}$ Эта формула справедлива в алгебрах, где может быть определена матричная экспонента, например, в Банаховой алгебре или в кольце формальных степенных рядов. Она также играет важнейшую роль в квантовой механике и квантовой теории поля при построении теории возмущений для операторов в представлении Гейзенберга и представлении взаимодействия.
• ${\displaystyle \ln \left(e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}\right)=[A,B]+{\frac {1}{2!}}[(A+B),[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left([A,[B,[B,A]]]/2+[(A+B),[(A+B),[A,B]]]\right)+\cdots .}$

Собственные значения гамильтониана квантовой системы — это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi }$

и определения полной производной оператора по времени ${\displaystyle {\dot {\hat {f}}}={\hat {\dot {f}}}}$ можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно: ${\displaystyle {\dot {\hat {f}}}={i \over \hbar }[{\hat {H}},{\hat {f}}]+{\frac {\partial {\hat {f}}}{\partial t}}}$.

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение является квантовым аналогом тождества

${\displaystyle {\dot {f}}={\mathcal {\{}}H,f{\mathcal {\}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$ из классической механики, где {,} — скобка Пуассона функций.

Значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

${\displaystyle {\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{i},{\hat {L}}_{i}}$ — оператор i-ой компоненты, соответственно, радиус-вектора, импульса и момента импульса; ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — дельта Кронекера; ${\displaystyle e_{ijk}}$ — абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.

${\displaystyle [{\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}}$

${\displaystyle [{\hat {p}},f({\vec {r}})]=-i\hbar \nabla f}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {r}}_{k}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {p}}_{k}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {L}}_{k}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}^{2},{\hat {L}}_{i}]=0}$

Как правило, необходимы соотношения для нормированного момента: ${\displaystyle \ {\hat {L}}_{j}=\hbar {\hat {l}}_{j}}$

${\displaystyle [{\hat {l}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {r}}_{k}}$

${\displaystyle [{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {p}}_{k}}$

${\displaystyle [{\hat {l}}_{i},{\hat {l}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {l}}_{k}}$

${\displaystyle [{\hat {l}}^{2},{\hat {l}}_{i}]=0}$

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли, поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Матрица ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ называется коммутатором матриц ${\displaystyle A,B\in {\mathsf {L}}_{n}(K)}$. Не следует путать коммутатор в этом смысле с групповым коммутатором ${\displaystyle (A,B)=ABA^{-1}B^{-1}}$, определённым для невырожденных матриц. Тем не менее эти два понятия тесно связаны между собой. Подпространство пространства матриц, замкнутое относительно операции коммутирования, называется линейной алгеброй Ли.

• Коммутатор двух кососимметричных матриц ${\displaystyle A,B}$ также является кососимметричной матрицей: ${\displaystyle [A,B]^{T}=(AB-BA)^{T}=B^{T}A^{T}-A^{T}B^{T}=BA-AB=-[A,B]}$.
• Операция коммутирования матриц антикоммутативна, то есть ${\displaystyle [A,B]+[B,A]=0}$, и удовлетворяет тождеству Якоби: ${\displaystyle [[A,B],C]+[[B,C]A]+[[C,A],B]=0}$, которое является следствием ассоциативности умножения матриц^[6].

Некоммутирующими величинами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются величины, коммутатор которых ${\displaystyle [A,B]=AB-BA\neq 0}$.

Две физические величины одновременно измеримы тогда и только тогда, когда их операторы коммутируют.

Антикоммутатор — симметризующий оператор над элементами кольца, определяющий степень «антикоммутативности» умножения в кольце:

${\displaystyle [x,y]_{+}:=xy+yx}$

Через антикоммутатор вводится коммутативное «йорданово умножение». Алгебра Клиффорда всегда естественным образом связывает антикоммутатор с задающей её билинейной формой.

• Антикоммутатор пары различных мнимых единиц у кватернионов равен нулю.
• При помощи антикоммутатора определяются гамма-матрицы Дирака.