Скобка Пуассона

Пусть ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle u}$ — векторные поля на гладком многообразии ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle L_{v}}$ — оператор производной Ли по направлению векторного поля ${\displaystyle v}$. Коммутатор операторов ${\displaystyle L_{v}}$ и ${\displaystyle L_{u}}$ есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле ${\displaystyle [v,u]}$, для которого^{[4][Notes 1]}

${\displaystyle L_{v}L_{u}-L_{u}L_{v}\equiv [L_{v},L_{u}]=L_{[v,u]}}$

Компоненты векторного поля ${\displaystyle [v,u]}$ в произвольной системе координат выражаются через компоненты ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle u}$ по формуле

${\displaystyle [v,u]_{i}=\sum _{j}v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-u_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}.}$

Таким образом, поле ${\displaystyle [v,u]}$ не зависит от системы координат ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n}),}$ которая используется в формуле.

Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:

${\displaystyle [v,u]=L_{v}u}$

В голономном базисе оно принимает вид

${\displaystyle [v,u]^{\mu }=v^{\alpha }\partial _{\alpha }u^{\mu }-u^{\alpha }\partial _{\alpha }v^{\mu }}$

Пусть ${\displaystyle G=\mathrm {Diff} (M)}$ есть группа диффеоморфизмов многообразия ${\displaystyle M}$. Тогда ${\displaystyle \mathrm {ad} _{v}w=-\{v,w\},}$ где ${\displaystyle \{v,w\}}$ — скобка Пуассона, ${\displaystyle \mathrm {ad} }$ — дифференциал ${\displaystyle \mathrm {Ad} }$ в единице группы. Символ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{v}}$ обозначает образ элемента ${\displaystyle v}$.

Пусть ${\displaystyle t\mapsto g(t)}$ является кривой, которая выходит из ${\displaystyle k}$ с начальной скоростью ${\displaystyle {\dot {g}}=m,}$ и пусть ${\displaystyle s\mapsto h(s)}$ является такой же кривой с начальной скоростью ${\displaystyle h'=\omega .}$ Тогда

${\displaystyle g(t)h(s)g(t)^{-1}=(k+tm+o(t))(k+s\omega +o(s))(k+tm+o(t))^{-1}=k+s[\omega +t(m\omega -\omega m)+o(t)]+o(s)}$

при ${\displaystyle t,s\rightarrow 0.}$

Вектор ${\displaystyle m}$ в алгебре Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является скоростью в единице ${\displaystyle k}$ пути ${\displaystyle g(t)}$ на группе Ли ${\displaystyle G}$

Все, кроме последних двух, доказываются простым подсчётом.

• Линейность: ${\displaystyle {\Big [}u,cv{\Big ]}=c{\Big [}u,v{\Big ]},\;\;\;\;c}$ — функция, не зависящая от ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$.
• Антикоммутативность: ${\displaystyle {\Big [}u,v{\Big ]}=-{\Big [}v,u{\Big ]}}$
• ${\displaystyle {\Big [}w,u+v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}+{\Big [}w,v{\Big ]}}$
• ${\displaystyle {\Big [}u,u{\Big ]}=0}$
• ${\displaystyle {\cfrac {\partial {\Big [}u,v{\Big ]}}{\partial t}}={\Big [}{\cfrac {\partial u}{\partial t}},v{\Big ]}+{\Big [}u,{\cfrac {\partial v}{\partial t}}{\Big ]}}$
• ${\displaystyle {\Big [}w,c{\Big ]}=0}$
• ${\displaystyle {\Big [}w,u\cdot v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}v+u{\Big [}w,v{\Big ]}}$
• ${\displaystyle {\Big [}w,u(v_{1},\ldots ,v_{k}){\Big ]}=\sum _{l=1}^{k}{\cfrac {\partial u}{\partial v_{l}}}{\Big [}w,v_{l}{\Big ]}}$
• Тождество Якоби: ${\displaystyle {\Big [}{\Big [}u,v{\Big ]},w{\Big ]}+{\Big [}{\Big [}v,w{\Big ]},u{\Big ]}+{\Big [}{\Big [}w,u{\Big ]},v{\Big ]}=0.}$
• Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.

Пусть ${\displaystyle M}$ — симплектическое многообразие. Симплектическая структура ${\displaystyle \omega }$ на ${\displaystyle M}$ позволяет ввести на множестве функций на ${\displaystyle M}$ операцию скобок Пуассона, обозначаемую ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ или ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ и задаваемую по правилу^{[1][Notes 2]}

${\displaystyle [F,G]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ L_{\mathbf {F} }G\equiv dG(\mathbf {F} )\equiv \omega (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )}$

где ${\displaystyle \mathbf {F} }$ (также ${\displaystyle IdF}$) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона ${\displaystyle F}$. Оно определяется через дифференциал функции ${\displaystyle F}$ и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой ${\displaystyle \omega }$. Именно, для любого векторного поля ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle dF(\mathbf {v} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \omega (\mathbf {v} ,\mathbf {F} )}$

В силу кососимметричности и билинейности ${\displaystyle \omega }$ скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

${\displaystyle [F,G]=-[G,F]}$

${\displaystyle [F,\lambda G+\mu H]=\lambda [F,G]+\mu [F,H]}$

Выражение

${\displaystyle [F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]}$

является линейной функцией вторых производных каждой из функций ${\displaystyle F,G,H}$. Однако

${\displaystyle {\begin{array}{r}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\\-L_{Id[G,H]}F+L_{\mathbf {G} }L_{\mathbf {H} }F-L_{\mathbf {H} }L_{\mathbf {G} }F=\\\left(-L_{Id[G,H]}+L_{[\mathbf {G} ,\mathbf {H} ]}\right)F\end{array}}}$

Это выражение не содержит вторых производных ${\displaystyle F}$. Аналогично, оно не содержит вторых производных ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$, а потому

${\displaystyle [F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0}$

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на ${\displaystyle M}$ структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции ${\displaystyle H}$

${\displaystyle L_{Id[F,G]}H=L_{[\mathbf {F} ,\mathbf {G} ]}H}$,

то есть

${\displaystyle Id[F,G]=[\mathbf {F} ,\mathbf {G} ]}$

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

• Скобки Пуассона невырождены:

${\displaystyle \forall F\not \equiv 0\ \exists H:[F,H]\neq 0}$

• Скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Лейбница:

${\displaystyle [F,GH]=[F,G]H+G[F,H]}$

• Функция ${\displaystyle F}$ является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом ${\displaystyle H}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle [F,H]=0}$
• Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
• Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона ${\displaystyle H}$, заданной на многообразии ${\displaystyle M}$. Полная производная по времени от произвольной функции ${\displaystyle f\colon M\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ запишется в виде

${\displaystyle {\begin{array}{cl}{\frac {d}{dt}}f=&{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\dot {q}}{\frac {\partial f}{\partial q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial f}{\partial p}}=\\&{\frac {\partial f}{\partial t}}+L_{\mathbf {H} }f=\\&{\frac {\partial }{\partial t}}f+[H,f]\end{array}}}$

• В канонических координатах ${\displaystyle (q_{i},p_{j})}$ скобки Пуассона принимают вид^{[Notes 3]}

${\displaystyle [f,g]=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)}$^[5]

Скобки Пуассона сыграли важную эвристическую роль при создании квантовой механики методом классической аналогии между классическими и квантовыми скобками Пуассона.^[6][7][8][9]