Исключительный объект

Типичные примеры исключительных объектов возникают при классификации правильных многогранников: в двумерном случае существует серия правильных n-угольников для n ≥ 3. В каждом измерении выше 2 можно найти аналоги куба, тетраэдра и октаэдра. В трёхмерном пространстве существуют ещё два правильных многогранника — додекаэдр (12-гранник) и икосаэдр (20-гранник), что в сумме даёт пять платоновых тел. В четырёхмерном пространстве всего шесть правильных 4-многогранников, включая 120-ячейник, 600-ячейник и 24-ячейник. В более высоких размерностях других правильных многогранников нет: единственными правильными многогранниками являются представители серий гиперкуб, симплекс, ортоплекс. Таким образом, во всех размерностях существуют три серии и пять исключительных многогранников^[5].

Аналогичная картина наблюдается и для невыпуклых многогранников: в двумерии существует правильная звёздчатая фигура для каждого рационального числа ${\displaystyle \textstyle p/q>2}$^[6]. В трёхмерии есть четыре многогранника Кеплера — Пуансо, а в четырёхмерии — десять многогранников Шлефли — Гесса; в более высоких размерностях невыпуклых правильных фигур не существует.

Эти результаты можно обобщить на замощения других пространств, особенно однородные замощения, в частности замощения евклидова пространства (соты), где также встречаются исключительные объекты, и замощения гиперболического пространства. В размерностях ниже 6 существуют различные исключительные объекты, но начиная с 6-мерия единственными правильными многогранниками/замощениями/гиперболическими замощениями остаются симплекс, гиперкуб, крест-полито́п и гиперкубическая решётка.

(3 3 2)	(4 3 2)	(5 3 2)
(3 3 3)	(4 4 2)	(6 3 2)

Связанные с замощениями и правильными многогранниками, существуют исключительные треугольники Шварца (треугольники, замощающие сферу, или, более общо, евклидову или гиперболическую плоскость с помощью треугольной группы отражений относительно их сторон), в частности треугольники Мёбиуса. На сфере существует 3 треугольника Мёбиуса (и 1 однопараметрическое семейство), соответствующих 3 исключительным платоновым группам, а на евклидовой плоскости — 3 треугольника Мёбиуса, соответствующих 3 особым треугольникам: 60-60-60 (равносторонний), 45-45-90 (равнобедренный прямоугольный) и 30-60-90. Существуют и другие исключительные треугольники Шварца на сфере и евклидовой плоскости. В отличие от этого, на гиперболической плоскости имеется трёхпараметрическое семейство треугольников Мёбиуса, и исключительных среди них нет.

Конечные простые группы были классифицированы на несколько серий, а также 26 спорадических групп^[7]. Из них 20 являются подгруппами или факторгруппами группы монстра, называются «Счастливой семьёй», а 6 не связаны с монстром и называются «париями».

Несколько спорадических групп связаны с решёткой Лича, наиболее известна группа Конвея Co₁, являющаяся группой автоморфизмов решётки Лича с факторизацией по её центру.

Существует только три конечномерные ассоциативные делительные алгебры над вещественными числами — вещественные числа, комплексные числа и кватернионы. Единственная неассоциативная делительная алгебра — алгебра октав. Октавы связаны с широким спектром исключительных объектов. Например, исключительная формально вещественная алгебра Джордана — это алгебра Альберта 3×3 самосопряжённых матриц над октавами.

Простые группы Ли образуют несколько серий (классические группы Ли) с обозначениями A, B, C и D. Кроме того, существуют исключительные группы G₂ (группа автоморфизмов октав), F₄, E₆, E₇, E₈. Последние четыре группы можно рассматривать как группы симметрий проективных плоскостей над O, C⊗O, H⊗O и O⊗O соответственно, где O — алгебра октав, а тензорные произведения берутся над вещественными числами.

Классификация групп Ли соответствует классификации корневых систем, и, следовательно, исключительные группы Ли соответствуют исключительным корневым системам и исключительным диаграммам Дынкина.

Существует несколько исключительных объектов с суперсимметрией. Классификация супералгебр по Кацу и Тьерри-Мьегу показывает, что супералгебры Ли G(3) в 31 измерении и F(4) в 40 измерениях, а также супер-алгебры Джордана K₃ и K₁₀, являются примерами исключительных объектов^[8][9].

С точностью до изометрии существует только одна чётная унимодулярная решётка в размерности 15 и ниже — решётка E₈. До размерности 24 существует только одна чётная унимодулярная решётка без корней — решётка Лича. Три из спорадических простых групп были открыты Конвеем при исследовании группы автоморфизмов решётки Лича. Например, Co₁ — это сама группа автоморфизмов с факторизацией по ±1. Группы Co₂ и Co₃, а также ряд других спорадических групп, возникают как стабилизаторы различных подмножеств решётки Лича.

Некоторые коды также выделяются как исключительные объекты, в частности совершенный двоичный код Голея, тесно связанный с решёткой Лича. Группа Матьё ${\displaystyle M_{24}}$, одна из спорадических простых групп, является группой автоморфизмов расширенного двоичного кода Голея, а ещё четыре спорадические простые группы возникают как различные типы стабилизаторов подгрупп ${\displaystyle M_{24}}$.

Исключительным блочным дизайном является система Штейнера S(5,8,24), группа автоморфизмов которой — спорадическая простая группа Матьё ${\displaystyle M_{24}}$.

Кодовые слова расширенного двоичного кода Голея имеют длину 24 бита и веса 0, 8, 12, 16 или 24. Этот код может исправлять до трёх ошибок. Таким образом, любое 24-битное слово веса 5 может быть исправлено до кодового слова веса 8. Биты 24-битного слова можно рассматривать как задающие возможные подмножества 24-элементного множества. Следовательно, расширенный двоичный код Голея задаёт уникальное 8-элементное подмножество для каждого 5-элементного подмножества. Фактически, он определяет S(5,8,24).

Некоторые семейства групп обычно имеют определённую внешнюю группу автоморфизмов, но в отдельных случаях встречаются и другие исключительные внешние автоморфизмы.

Среди семейств конечных простых групп единственный пример встречается в автоморфизмах симметрических и чередующихся групп: для ${\displaystyle n\geq 3,n\neq 6}$ чередующаяся группа ${\displaystyle A_{n}}$ имеет один внешний автоморфизм (соответствующий сопряжению нечётным элементом ${\displaystyle S_{n}}$), а симметрическая группа ${\displaystyle S_{n}}$ не имеет внешних автоморфизмов. Однако для ${\displaystyle n=6,}$ существует исключительный внешний автоморфизм ${\displaystyle S_{6}}$ (порядка 2), и, соответственно, внешняя группа автоморфизмов ${\displaystyle A_{6}}$ не равна ${\displaystyle C_{2}}$ (группе порядка 2), а равна ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$, группе Клейна.^[10][11][12]

Если рассматривать ${\displaystyle A_{6}}$ как (изоморфную) проективную специальную линейную группу ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,9)}$, то внешний автоморфизм не является исключительным; таким образом, исключительность объясняется исключительным изоморфизмом ${\displaystyle A_{6}\cong \operatorname {PSL} (2,9).}$ Этот исключительный внешний автоморфизм реализуется внутри группы Матьё ${\displaystyle M_{12}}$, причём ${\displaystyle M_{12}}$ действует на 12-элементном множестве двумя различными способами.

Среди групп Ли спиновая группа ${\displaystyle \operatorname {Spin} (8)}$ обладает исключительно большой внешней группой автоморфизмов (а именно ${\displaystyle S_{3}}$), что соответствует исключительным симметриям диаграммы Дынкина ${\displaystyle D_{4}}$. Это явление называется триальность.

Исключительная симметрия диаграммы ${\displaystyle D_{4}}$ также приводит к появлению групп Штейнберга.

Инвариант Керваира — это инвариант (4k + 2)-мерного многообразия, который измеряет, можно ли с помощью хирургии превратить многообразие в сферу. Этот инвариант равен 0, если многообразие можно превратить в сферу, и 1 — в противном случае. Более точно, инвариант Керваира применяется к фреймированному многообразию, то есть к многообразию, вложенному в евклидово пространство и снабжённому тривиализацией нормального расслоения. Проблема Керваира состоит в определении размерностей, в которых инвариант Керваира может быть отличен от нуля. Для дифференцируемых многообразий это возможно только в размерностях 2, 6, 14, 30, 62 и, возможно, 126; в других размерностях — нет. Последний случай (размерность 126) остаётся открытым^[13].^[14] Эти пять или шесть классов кобордизма фреймированных многообразий с инвариантом Керваира, равным 1, являются исключительными объектами, связанными с экзотическими сферами. Первые три случая связаны с комплексными числами, кватернионами и октавами соответственно: многообразие с инвариантом Керваира 1 можно построить как произведение двух сфер, причём его экзотическая фреймировка определяется нормированной делительной алгеброй^[15].

Из-за совпадения размерностей существует гипотеза, что оставшиеся случаи (размерности 30, 62 и 126) связаны с проективными плоскостями Розенфельда, определяемыми над алгебрами, построенными из октав. В частности, предполагается, что существует конструкция, которая по этим проективным плоскостям строит многообразие с ненулевым инвариантом Керваира в размерности на два меньше, но это пока не подтверждено^[16].

В квантовой теории информации существуют структуры, известные как SIC-POVM или SIC, которые соответствуют максимальным наборам комплексных эквиугловых прямых. Некоторые из известных SIC — те, что в пространствах размерности 2 и 3, а также определённые решения в размерности 8 — считаются исключительными объектами и называются «спорадическими SIC». Они отличаются от других известных SIC особенностями своих групп симметрий, теорией Галуа числовых значений их векторных компонент и т. д^[17]. Спорадические SIC в размерности 8 связаны с целыми октавами^[18].

Между некоторыми, хотя и не всеми, из этих исключительных объектов обнаружены многочисленные связи. Наиболее часто встречаются объекты, связанные с 8 и 24 измерениями, при этом 24 = 8 · 3. В отличие от этого, группы-парии стоят особняком, как и следует из их названия.

Исключительные объекты, связанные с числом 8:

• Октавы имеют размерность 8.
• Решётка E₈ может быть реализована как целые октавы (с точностью до масштаба).
• Исключительные группы Ли можно рассматривать как группы симметрий октав и структур, производных от октав^[19]; кроме того, алгебра E₈ связана с решёткой E₈, как видно из обозначения (решётка порождается корневой системой алгебры).
• Триальность возникает для Spin(8), что также связано с 8 · 3 = 24.

Аналогично, исключительные объекты, связанные с числом 24:

• Решётка Лича имеет размерность 24.
• Большинство спорадических простых групп связано с решёткой Лича или, шире, с монстром.
• Исключительная алгебра Джордана имеет представление в виде 24×24 вещественных матриц с операцией Джордана.

Эти объекты связаны с различными другими явлениями в математике, которые могут считаться удивительными, но не сами по себе «исключительными». Например, в алгебраической топологии 8-кратная вещественная периодичность Ботта может быть объяснена октавами. В теории модулярных форм 24-мерность решётки Лича лежит в основе появления числа 24 в формулах для эта-функции Дедекенда и модулярного дискриминанта, что углубляется благодаря лунному сиянию монстра, связывающему модулярные функции с группой монстра^[20].

В теории струн и суперструн часто встречаются размерности, выделяющиеся в результате исключительных алгебраических явлений. Например, бозонная теория струн требует пространства-времени размерности 26, что напрямую связано с появлением числа 24 в эта-функции Дедекенда. Аналогично, возможные размерности супергравитации связаны с размерностями делительных алгебр^[21].

Многие исключительные объекты в математике и физике оказались связанными друг с другом. Такие открытия, как гипотеза лунного сияния монстра, показывают, например, связь группы монстра с теорией струн. Теория модулярных форм показывает, как алгебра E₈ связана с группой монстра. (Фактически, задолго до доказательства гипотезы лунного сияния монстра было обнаружено, что эллиптическая j-функция кодирует представления E₈^[2][22][23]). Другие интересные связи включают то, как решётка Лича связана через код Голея с матрицей смежности додекаэдра (ещё одного исключительного объекта). Ниже приведена ментальная карта, показывающая, как некоторые исключительные объекты в математике и математической физике связаны между собой.

Частично эти связи можно объяснить, рассматривая алгебры как башню вершинных операторных алгебр решёток. Так получилось, что алгебры на нижних уровнях настолько просты, что изоморфны привычным не-вершинным алгебрам. Таким образом, связи можно рассматривать как следствие того, что одни решётки являются подрешётками других.

Супералгебры Джордана — это параллельный набор исключительных объектов с суперсимметрией. Это супералгебры Ли, связанные с лоренцевыми решётками. Эта область изучена меньше, и связи между объектами установлены не столь хорошо. Существуют новые гипотезы, аналогичные гипотезам лунного сияния монстра для этих суперобъектов, включающие другие спорадические группы.

Термин «исключительный» объект применяется к объектам, которые необычны, то есть редки, являются исключением, а не к неожиданным или нестандартным объектам. Такие неожиданные, но типичные (или распространённые) явления обычно называют патологическими, например, всюду недифференцируемые функции, или «экзотическими», как экзотические сферы — экзотические сферы существуют в сколь угодно высокой размерности (а не только в конечном числе исключений), и во многих размерностях большинство (дифференциальных структур на) сфер экзотичны.

Исключительные объекты следует отличать от экстремальных объектов: те, что входят в семейство и являются наиболее крайним примером по какому-либо признаку, представляют интерес, но не являются необычными так, как исключительные объекты. Например, золотое сечение φ имеет наипростейшее представление в виде цепной дроби и, соответственно, труднее всего приближается рациональными числами; однако оно лишь одно из бесконечного множества таких квадратичных чисел (цепных дробей).

Аналогично, (2,3,7)-треугольник Шварца — наименьший гиперболический треугольник Шварца, а связанная с ним (2,3,7)-треугольная группа представляет особый интерес, являясь универсальной группой Гурвица, а значит, связана с кривыми Гурвица, максимально симметричными алгебраическими кривыми. Однако он входит в семейство таких треугольников ((2,4,7), (2,3,8), (3,3,7) и др.), и хотя он наименьший, не является исключительным или отличным от других.