Измеримое пространство

Измеримое пространство — это пара ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}})}$, состоящая из непустого множества ${\displaystyle \Omega }$ и σ-алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ на ${\displaystyle \Omega }$. Элементы ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ называются измеримыми множествами в ${\displaystyle \Omega }$. На практике σ-алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ позволяет сопоставлять некоторым подмножествам ${\displaystyle \Omega }$ (не обязательно всем) меру (длину, объём, вероятность и т. д.), а измеримое пространство — это множество таких подмножеств с заданной мерой.

Выбор меры, ассоциируемой с этими подмножествами, приводит к пространству меры.

Измеримые пространства образуют категорию, морфизмами которой являются измеримые функции.

Множество ${\displaystyle \Omega }$ иногда называют выборочное пространство, особенно в приложениях к статистике и теории вероятностей.

Пусть дана семейство ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ подмножеств ${\displaystyle \Omega }$. Тогда σ-алгебра ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}})}$, порождаемая ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$, определена однозначно.

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {\mathrm {T} }})}$ — топологическое пространство. Тогда можно построить измеримое пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}})}$, положив ${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\sigma ({\mathcal {\mathrm {T} }})}$, то есть σ-алгебру, порождённую топологией ${\displaystyle {\mathcal {\mathrm {T} }}}$. Измеримые пространства такого типа, то есть порождённые топологией, называются борелевскими пространствами^[5].

Простое наблюдение, иллюстрирующее связь между топологической и измеримой структурами таких пространств, следующее:^[6] Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {\mathrm {T} }}),\,(\Psi ,\Upsilon )}$ — два топологических пространства, а ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}}),\,(\Psi ,{\mathfrak {G}})}$ — соответствующие борелевские пространства. Если отображение ${\displaystyle f:\Omega \mapsto \Psi }$ непрерывно (относительно ${\displaystyle {\mathcal {\mathrm {T} }},\,\Upsilon }$), то оно измеримо (относительно ${\displaystyle {\mathfrak {F}},\,{\mathfrak {G}}}$).

Пусть ${\displaystyle (\Psi ,{\mathfrak {G}})}$ — измеримое пространство, ${\displaystyle \Omega }$ — непустое множество, а ${\displaystyle f:\Omega \mapsto \Psi }$ — произвольное отображение из ${\displaystyle \Omega }$ в ${\displaystyle \Psi }$. На ${\displaystyle \Omega }$ можно определить структуру измеримого пространства, построив σ-алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ как наименьшую σ-алгебру, относительно которой ${\displaystyle f}$ измерима^[7]. Структура пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}})}$ называется индуцированной отображением ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle \Omega }$. Важная характеристика ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ такова:

${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\left\{E\subset \Omega \ :\ \exists F\in {\mathfrak {G}},E=f^{-1}(F)\right\}}$

На практике ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ — это σ-алгебра, элементы которой являются прообразами (относительно ${\displaystyle f}$) элементов ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$.

Более того, если ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ — семейство (конечное или бесконечное) функций из ${\displaystyle \Omega }$ в ${\displaystyle \Psi }$, то на ${\displaystyle \Omega }$ можно определить σ-алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ как наименьшую σ-алгебру, делающую все функции из ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ измеримыми.

Пусть ${\displaystyle (\Omega _{1},{\mathfrak {F}}_{1})}$ и ${\displaystyle (\Omega _{2},{\mathfrak {F}}_{2})}$ — два измеримых пространства. Тогда на декартовом произведении ${\displaystyle \Omega :=\Omega _{1}\times \Omega _{2}}$ можно определить структуру измеримого пространства, наделив ${\displaystyle \Omega }$ подходящей σ-алгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, для которой существуют два эквивалентных определения:

• Пусть ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}$ — канонические проекции ${\displaystyle \pi _{i}:\Omega \mapsto \Omega _{i}}$ (например, ${\displaystyle \pi _{1}((\omega _{1},\omega _{2}))=\omega _{1}}$). Тогда ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ можно определить как наименьшую σ-алгебру, относительно которой обе ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}$ измеримы. Заметим аналогию этой конструкции с определением топологии произведения.
• Рассмотрим семейство подмножеств ${\displaystyle \Omega }$, состоящее из декартовых произведений элементов ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{1}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{2}}$, то есть ${\displaystyle {\mathfrak {G}}:=E\times F}$, где ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}}_{1}}$, ${\displaystyle F\in {\mathfrak {F}}_{2}}$.

В общем случае ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ не является σ-алгеброй (и даже алгеброй). Действительно, объединение двух множеств из ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ не обязательно принадлежит ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$, поэтому это семейство не замкнуто относительно объединения (однако оно замкнуто относительно пересечения, то есть является π-системой). Тогда можно положить ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:=\sigma ({\mathfrak {G}})}$ (которая по определению является σ-алгеброй^[8]).

Нетрудно проверить, что оба определения совпадают; измеримое пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}})}$, построенное таким образом, называется произведением измеримых пространств.

Более того, эту конструкцию можно обобщить на декартово произведение произвольной семейства измеримых пространств. Пусть ${\displaystyle \{\Omega _{\alpha },{\mathfrak {F}}_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ — произвольная (конечная или бесконечная) семейство измеримых пространств, и

${\displaystyle \Omega =\prod _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Omega _{\alpha }}$

Первое определение легко переносится на этот случай: достаточно определить ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ как наименьшую σ-алгебру, относительно которой все канонические проекции ${\displaystyle \pi _{\alpha }}$ измеримы. Во втором определении ${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\sigma ({\mathfrak {G}})}$, где ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ определяется как

${\displaystyle {\mathfrak {G}}:=\left\{E\subset \Omega \ :\ E=\prod _{\alpha \in {\mathcal {A}}}E_{\alpha }\,;\ E_{\alpha }\subset \Omega _{\alpha }\,;\ E_{\alpha }\neq \Omega _{\alpha }\,{\text{ только для конечного числа }}\,\alpha \right\}}$

Если ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$ — борелевские пространства, то на произведении ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}}$ можно построить две различные σ-алгебры. Одна — описанная выше, другая — борелевская σ-алгебра, порождённая топологией произведения. Последняя всегда содержит первую, и они совпадают, если топологии ${\displaystyle \Omega _{1}}$ и ${\displaystyle \Omega _{2}}$ удовлетворяют первому аксиому счётности. В этом случае можно утверждать, что произведение двух борелевских пространств также является борелевским пространством.

Понятие произведения измеримых пространств играет важную роль в теории меры, поскольку позволяет формулировать свойства кратных интегралов, а также в теории вероятностей, так как даёт возможность явно строить независимые случайные величины.

• Любое непустое множество, снабжённое минимальной σ-алгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{0}:=\{\emptyset ,\Omega \}}$ или σ-алгеброй всех подмножеств ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{\mathcal {P}}:=\mathbf {2} ^{\Omega }}$, является измеримым пространством.
• В некоторых случаях на одном и том же множестве ${\displaystyle \Omega }$ можно определить несколько интересных σ-алгебр, а значит и несколько различных измеримых пространств. Например, на вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (или, более общо, на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) часто рассматривают борелевскую σ-алгебру и лебеговскую σ-алгебру. Первая обычно используется при изучении измеримых функций (например, лемма об измеримости непрерывных функций). Вторая — гораздо более широкая σ-алгебра, интересная для вопросов, связанных с мерами и измеримыми множествами (она является завершением борелевской σ-алгебры относительно меры Лебега); однако она неудобна для определения измеримых функций: даже непрерывные функции из ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ не всегда измеримы относительно лебеговской σ-алгебры.