Измеримое пространство

Измеримое пространство — это пара Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle (\Omega, \mathfrak{F})} , состоящая из непустого множества ${\displaystyle \Omega }$ и σ-алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ на ${\displaystyle \Omega }$. Элементы ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ называются измеримыми множествами в ${\displaystyle \Omega }$. На практике σ-алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ позволяет сопоставлять некоторым подмножествам ${\displaystyle \Omega }$ (не обязательно всем) меру (длину, объём, вероятность и т. д.), а измеримое пространство — это множество таких подмножеств с заданной мерой.

Выбор меры, ассоциируемой с этими подмножествами, приводит к пространству меры.

Измеримые пространства образуют категорию, морфизмами которой являются измеримые функции.

Множество ${\displaystyle \Omega }$ иногда называют выборочное пространство, особенно в приложениях к статистике и теории вероятностей.

Пусть дана семейство Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{G}} подмножеств ${\displaystyle \Omega }$. Тогда σ-алгебра Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \sigma(\mathfrak{G})} , порождаемая Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{G}} , определена однозначно.

Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle (\Omega,\mathcal{\Tau})} — топологическое пространство. Тогда можно построить измеримое пространство Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle (\Omega,\mathfrak{F})} , положив Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{F}=\sigma(\mathcal{\Tau})} , то есть σ-алгебру, порождённую топологией Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{\Tau}} . Измеримые пространства такого типа, то есть порождённые топологией, называются борелевскими пространствами^[5].

Простое наблюдение, иллюстрирующее связь между топологической и измеримой структурами таких пространств, следующее:^[6] Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle (\Omega,\mathcal{\Tau}),\,(\Psi,\Upsilon)} — два топологических пространства, а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle (\Omega,\mathfrak{F}),\,(\Psi,\mathfrak{G})} — соответствующие борелевские пространства. Если отображение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle f:\Omega \mapsto \Psi} непрерывно (относительно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{\Tau},\,\Upsilon} ), то оно измеримо (относительно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{F},\,\mathfrak{G}} ).

Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle (\Psi,\mathfrak{G})} — измеримое пространство, ${\displaystyle \Omega }$ — непустое множество, а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle f:\Omega \mapsto \Psi} — произвольное отображение из ${\displaystyle \Omega }$ в ${\displaystyle \Psi }$. На ${\displaystyle \Omega }$ можно определить структуру измеримого пространства, построив σ-алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ как наименьшую σ-алгебру, относительно которой ${\displaystyle f}$ измерима^[7]. Структура пространства Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle (\Omega,\mathfrak{F})} называется индуцированной отображением ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle \Omega }$. Важная характеристика ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ такова:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{F}=\left\{E\subset \Omega \ : \ \exists F \in\mathfrak{G}, E=f^{-1}(F) \right\}}

На практике ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ — это σ-алгебра, элементы которой являются прообразами (относительно ${\displaystyle f}$) элементов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{G}} .

Более того, если ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ — семейство (конечное или бесконечное) функций из ${\displaystyle \Omega }$ в ${\displaystyle \Psi }$, то на ${\displaystyle \Omega }$ можно определить σ-алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ как наименьшую σ-алгебру, делающую все функции из ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ измеримыми.

Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle (\Omega_1,\mathfrak{F}_1)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle (\Omega_2,\mathfrak{F}_2)} — два измеримых пространства. Тогда на декартовом произведении Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \Omega:=\Omega_1 \times \Omega_2} можно определить структуру измеримого пространства, наделив ${\displaystyle \Omega }$ подходящей σ-алгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, для которой существуют два эквивалентных определения:

• Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \pi_1, \pi_2} — канонические проекции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \pi_i:\Omega \mapsto \Omega_i} (например, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \pi_1((\omega_1,\omega_2))=\omega_1} ). Тогда ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ можно определить как наименьшую σ-алгебру, относительно которой обе Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \pi_1, \pi_2} измеримы. Заметим аналогию этой конструкции с определением топологии произведения.
• Рассмотрим семейство подмножеств ${\displaystyle \Omega }$, состоящее из декартовых произведений элементов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{F}_1} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{F}_2} , то есть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{G}:= E\times F } , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle E\in \mathfrak{F}_1} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle F\in\mathfrak{F}_2} .

В общем случае Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{G}} не является σ-алгеброй (и даже алгеброй). Действительно, объединение двух множеств из Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{G}} не обязательно принадлежит Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{G}} , поэтому это семейство не замкнуто относительно объединения (однако оно замкнуто относительно пересечения, то есть является π-системой). Тогда можно положить Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{F}:=\sigma(\mathfrak{G})} (которая по определению является σ-алгеброй^[8]).

Нетрудно проверить, что оба определения совпадают; измеримое пространство Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle (\Omega,\mathfrak{F})} , построенное таким образом, называется произведением измеримых пространств.

Более того, эту конструкцию можно обобщить на декартово произведение произвольной семейства измеримых пространств. Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \{\Omega_\alpha,\mathfrak{F}_\alpha\}_{\alpha \in \mathcal{A}}} — произвольная (конечная или бесконечная) семейство измеримых пространств, и

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \Omega=\prod_{\alpha \in \mathcal{A}} \Omega_\alpha}

Первое определение легко переносится на этот случай: достаточно определить ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ как наименьшую σ-алгебру, относительно которой все канонические проекции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \pi_\alpha} измеримы. Во втором определении Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{F}=\sigma(\mathfrak{G})} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{G}} определяется как

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{G}:=\left\{E \subset \Omega \ : \ E=\prod_{\alpha \in \mathcal{A}}E_\alpha \, ; \ E_\alpha \subset \Omega_\alpha \, ; \ E_\alpha \neq \Omega_\alpha \, \text{ только для конечного числа }\,\alpha\right\}}

Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \Omega_1, \Omega_2} — борелевские пространства, то на произведении Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \Omega=\Omega_1\times\Omega_2} можно построить две различные σ-алгебры. Одна — описанная выше, другая — борелевская σ-алгебра, порождённая топологией произведения. Последняя всегда содержит первую, и они совпадают, если топологии ${\displaystyle \Omega _{1}}$ и ${\displaystyle \Omega _{2}}$ удовлетворяют первому аксиому счётности. В этом случае можно утверждать, что произведение двух борелевских пространств также является борелевским пространством.

Понятие произведения измеримых пространств играет важную роль в теории меры, поскольку позволяет формулировать свойства кратных интегралов, а также в теории вероятностей, так как даёт возможность явно строить независимые случайные величины.

• Любое непустое множество, снабжённое минимальной σ-алгеброй Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{F}_0:=\{\emptyset, \Omega\}} или σ-алгеброй всех подмножеств Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \mathfrak{F}_\mathcal{P}:=\mathbf{2}^\Omega} , является измеримым пространством.
• В некоторых случаях на одном и том же множестве ${\displaystyle \Omega }$ можно определить несколько интересных σ-алгебр, а значит и несколько различных измеримых пространств. Например, на вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (или, более общо, на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) часто рассматривают борелевскую σ-алгебру и лебеговскую σ-алгебру. Первая обычно используется при изучении измеримых функций (например, лемма об измеримости непрерывных функций). Вторая — гораздо более широкая σ-алгебра, интересная для вопросов, связанных с мерами и измеримыми множествами (она является завершением борелевской σ-алгебры относительно меры Лебега); однако она неудобна для определения измеримых функций: даже непрерывные функции из ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ не всегда измеримы относительно лебеговской σ-алгебры.