Пространство меры

Пространством меры называется измеримое пространство ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$, снабжённое положительной мерой ${\displaystyle \mu }$, определённой на σ-алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, состоящей из измеримых подмножеств множества ${\displaystyle X}$. Такое пространство обычно обозначается тройкой ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$.

Если измеримое пространство ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$ является борелевским пространством, то пространство меры ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ иногда называют борелевским пространством меры. Для пространства меры ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ обычно обозначают через ${\displaystyle |\mu |}$ полную вариацию меры ${\displaystyle \mu }$ на ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$.

Если ${\displaystyle |\mu |(X)<\infty }$, то пространство меры называется конечным. Если, кроме того, ${\displaystyle X}$ можно представить в виде счётного объединения подмножеств

${\displaystyle X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$

конечной меры, то есть таких, что ${\displaystyle |\mu |(X_{i})<\infty }$, то пространство меры называется σ-конечным.

Пространство вероятностей ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ — это пространство меры, такое что ${\displaystyle P(E)\geq 0}$ для любого ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ и ${\displaystyle P(\Omega )=1}$. В этом контексте ${\displaystyle P}$ называется мерой вероятности. Из определения следует, что пространство вероятностей всегда является конечным пространством меры.

Структура пространства вероятностей была введена А. Н. Колмогоровым в 1930-е годы, в рамках серии работ, заложивших основы всей теории вероятностей.

Пространство меры называется полным, если всякое множество, содержащееся в множестве меры нуль, также измеримо (и, очевидно, имеет нулевую меру). На практике часто удобно использовать полные пространства^[2]. Однако, для любого неполного пространства меры всегда можно построить его завершение следующим образом.

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ — пространство меры. Существует единственное полное пространство меры ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}}^{\prime },\mu ^{\prime })}$, называемое завершением ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ на том же множестве ${\displaystyle X}$ со следующими свойствами:

1. σ-алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }}$ содержит ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$.
2. Мера ${\displaystyle \mu ^{\prime }}$, ограниченная на ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, совпадает с ${\displaystyle \mu }$, то есть для любого измеримого подмножества ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}}}$ выполняется ${\displaystyle \mu (E)=\mu ^{\prime }(E)}$.
3. Если ${\displaystyle (X,{\mathfrak {G}},\nu )}$ — другое пространство с этими свойствами, то ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ содержит ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }}$ (или, что то же самое, ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }}$ — наименьшая среди всех σ-алгебр, на которых возможна такая конструкция).

Очевидно, если ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ уже полное, то оно совпадает со своим завершением. В общем случае завершение неполного пространства можно построить явно. Приведём соответствующую процедуру.

Рассмотрим множество ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ всех подмножеств, содержащихся в нуль-множествах (такие множества иногда называют пренебрежимыми). Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }=\sigma \left({\mathfrak {N}}\cup {\mathfrak {F}}\right)}$ — наименьшая σ-алгебра, содержащая элементы ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$. Поскольку счётные объединения и пересечения пренебрежимых множеств также пренебрежимы, легко видеть, что любой элемент ${\displaystyle E^{\prime }}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {F}}^{\prime }}$ можно получить из элемента ${\displaystyle E}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ добавлением или удалением пренебрежимого множества. Тогда достаточно продолжить ${\displaystyle \mu }$ до новой меры на ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}}^{\prime })}$, положив ${\displaystyle \mu ^{\prime }(E^{\prime }):=\mu (E)}$.

Примечательным примером является пространство меры Лебега, которое является завершением борелевского пространства меры.

Множество всех пространств меры образует категорию, в которой морфизмы задаются измеримыми функциями, сохраняющими меру. Пусть даны два пространства меры ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ и ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {G}},\nu )}$. Морфизмом называется функция ${\displaystyle f:X\to Y}$, такая что:

• ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle ({\mathfrak {F}},{\mathfrak {G}})}$-измеримой.
• Для любого множества ${\displaystyle F\in {\mathfrak {G}}}$ выполняется ${\displaystyle \mu \left(f^{-1}(F)\right)=\nu (F)}$.

В частности, два пространства меры называются изоморфными, если существует биективная измеримая функция ${\displaystyle f:X\to Y}$ с измеримой обратной, такая что для любого ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}}}$ выполняется ${\displaystyle \mu (E)=\nu (f(E))}$.

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$ — измеримое пространство, и ${\displaystyle \mu ,\nu }$ — две меры на нём. Мера ${\displaystyle \nu }$ называется абсолютно непрерывной относительно ${\displaystyle \mu }$, если для любого ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}}}$ с нулевой мерой относительно ${\displaystyle \mu }$ также ${\displaystyle \nu (E)=0}$: ${\displaystyle \mu (E)=0\Rightarrow \nu (E)=0}$. Две меры, абсолютно непрерывные друг относительно друга, называются эквивалентными.

• Наиболее естественное применение понятия пространства меры — в теории меры, где оно является фундаментальным объектом.

• Если ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}})}$ — измеримое пространство, а ${\displaystyle S}$ — полугруппа, то измеримое действие ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle X}$ — это семейство (индексированное параметром ${\displaystyle s\in S}$) измеримых отображений ${\displaystyle T_{s}:X\to X}$ таких, что ${\displaystyle T_{s}\circ T_{t}=T_{st}}$ для любых ${\displaystyle s,t\in S}$. Консервативная динамическая система — это четвёрка ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu ,S)}$, где ${\displaystyle (X,{\mathfrak {F}},\mu )}$ — пространство меры, а ${\displaystyle T}$ — измеримое действие полугруппы ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle X}$, сохраняющее меру: ${\displaystyle \mu \left(T_{s}^{-1}(E)\right)=\mu (E)}$ для любого ${\displaystyle E\in {\mathfrak {F}},\,s\in S}$. Из теории консервативных динамических систем можно обобщённо вывести многие свойства классической механики. В частности, гамильтоновы системы входят в класс консервативных динамических систем.

• Тройка ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathfrak {B}},\mu )}$, где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — вещественная прямая, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ — соответствующая, а ${\displaystyle \mu }$ — Борелевская мера, является борелевским пространством меры. Это не конечное пространство, так как мера (в данном случае — «длина») всей прямой бесконечна. Однако это пространство σ-конечно, поскольку каждый интервал вида ${\displaystyle [n,n+1]}$ имеет меру ${\displaystyle 1}$, и ${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{n}[n,n+1]}$.
• Тройка ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathfrak {L}},\lambda )}$, где ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ — σ-алгебра Лебега, а ${\displaystyle \lambda }$ — Мера Лебега, является пространством меры, не являющимся борелевским. Это пространство также σ-конечно по той же причине.
• Дискретное пространство ${\displaystyle \Omega =\{1,\ldots ,n\}}$, где по соглашению каждое подмножество ${\displaystyle \Omega }$ измеримо, а мера подмножества определяется как ${\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {|A|}{n}}}$, является пространством вероятностей.
• Если ${\displaystyle \Omega }$ — конечное пространство меры, то можно получить пространство вероятностей, введя меру ${\displaystyle \mathbb {P} (A)={\frac {\mu (A)}{\mu (\Omega )}}}$.