Закон (математика)

Неравенство треугольника: Если a, b и c — длины сторон треугольника, то неравенство треугольника утверждает, что

${\displaystyle c\leq a+b,}$

причём равенство достигается только в вырожденном случае треугольника с нулевой площадью. В евклидовой геометрии и некоторых других геометриях неравенство треугольника является теоремой о векторах и их длинах (нормах):

${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|,}$

где длина третьей стороны заменена длиной суммы векторов u + v. Когда u и v — действительные числа, их можно рассматривать как векторы в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$, и неравенство треугольника выражает соотношение между модулями.

Теорема Пифагора: Утверждает, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе (стороне, противолежащей прямому углу), равна сумме площадей квадратов, построенных на двух других сторонах. Теорема может быть записана в виде уравнения, связывающего длины сторон a, b и гипотенузы c, иногда называемого пифагоровым уравнением:^[6]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Геометрически тригонометрические тождества — это тождества, включающие определённые функции от одного или нескольких углов^[7]. Они отличаются от тождества треугольника, которые включают как углы, так и длины сторон треугольника. В данной статье рассматриваются только первые.

Эти тождества полезны при упрощении выражений, содержащих тригонометрические функции. Другое важное применение — интегрирование нетригонометрических функций: распространённый приём заключается в использовании тригонометрической подстановки с последующим упрощением интеграла с помощью тригонометрического тождества.

Одним из наиболее известных примеров тригонометрических тождеств является уравнение ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$ которое верно для всех действительных значений ${\displaystyle \theta }$. С другой стороны, уравнение

${\displaystyle \cos \theta =1}$

верно только для некоторых значений ${\displaystyle \theta }$, а не для всех. Например, это уравнение верно при ${\displaystyle \theta =0,}$ но ложно при ${\displaystyle \theta =2}$.

Другая группа тригонометрических тождеств связана с так называемыми формулами сложения и вычитания (например, формула двойного угла ${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$, формула сложения для ${\displaystyle \operatorname {tg} (x+y)}$), которые позволяют разложить выражения больших углов на выражения с меньшими составляющими.

Неравенство Коши — Шварца: Даёт верхнюю границу для скалярного произведения двух векторов в гильбертовом пространстве через произведение их норм. Это одно из важнейших и наиболее часто используемых неравенств в математике^[8].

Неравенство Коши — Шварца утверждает, что для любых векторов ${\displaystyle \mathbf {u} }$ и ${\displaystyle \mathbf {v} }$ в гильбертовом пространстве

${\displaystyle \left\vert \langle {\mathbf {u} },{\mathbf {v} }\rangle \right\vert \leq \langle {\mathbf {u} },{\mathbf {u} }\rangle \cdot \langle {\mathbf {v} },{\mathbf {v} }\rangle }$

где ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ — скалярное произведение. Примеры скалярных произведений включают действительное и комплексное скалярное произведение; см. примеры в гильбертовом пространстве. Каждое скалярное произведение порождает евклидову ${\displaystyle l_{2}}$ норму, называемую канонической или [[гильбертово пространство#Норма|индуцированной нормой], где норма вектора ${\displaystyle \mathbf {u} }$ обозначается и определяется как

${\displaystyle \|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }},}$

где ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }$ всегда неотрицательное действительное число (даже если скалярное произведение принимает комплексные значения). Взяв квадратный корень из обеих частей неравенства, неравенство Коши — Шварца можно записать в более привычной форме через норму:^[9][10]

${\displaystyle \left\vert \langle {\mathbf {u} },{\mathbf {v} }\rangle \right\vert \leq \langle {\mathbf {u} },{\mathbf {u} }\rangle \cdot \langle {\mathbf {v} },{\mathbf {v} }\rangle }$

Причём равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathbf {u} }$ и ${\displaystyle \mathbf {v} }$ линейно зависимы.^[11][12][13]

Принцип Дирихле: Если n объектов размещаются в m ящиках, при n > m, то хотя бы в одном ящике окажется более одного объекта^[14]. Например, если есть три перчатки (ни одна из которых не универсальна), то по крайней мере две из них будут правыми или по крайней мере две — левыми, поскольку объектов три, а категорий (правые/левые) — только две.

Законы де Моргана: В исчислении высказываний и булевой алгебре законы де Моргана,^[15][16][17] также известные как теорема де Моргана^[18], представляют собой пару правил преобразования, которые являются корректными правилами вывода. Они названы в честь Августа де Моргана, британского математика XIX века. Эти правила позволяют выразить конъюнкции и дизъюнкции исключительно через друг друга с помощью отрицания. На естественном языке правила формулируются так:

• не (A или B) = (не A) и (не B)
• не (A и B) = (не A) или (не B) где «A или B» — это инклюзивное или, то есть «по крайней мере одно из A или B», а не исключающее или, означающее «ровно одно из A или B». В формальном языке правила записываются так:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\neg (P\lor Q)&\iff (\neg P)\land (\neg Q),\quad {\text{ и }}\\\neg (P\land Q)&\iff (\neg P)\lor (\neg Q),\end{aligned}}}$$

  
  где P и Q — высказывания,
• ${\displaystyle \neg }$ — логический оператор отрицания (НЕ),
• ${\displaystyle \land }$ — логический оператор конъюнкции (И),
• ${\displaystyle \lor }$ — логический оператор дизъюнкции (ИЛИ),
• ${\displaystyle \iff }$ — металогический символ, означающий «может быть заменён в логическом доказательстве на», часто читается как «тогда и только тогда». Для любой комбинации истинности P и Q левая и правая части будут иметь одинаковое значение после вычисления.

Три закона мышления:

• закон тождества: «Всякое есть то, что оно есть»^[19]. Для любого a: a = a.
• закон непротиворечия (или «закон противоречия»^[20]): «Ничто не может одновременно быть и не быть»^[19]&
• закон исключённого третьего: «Всё либо есть, либо не есть».^[19] В соответствии с законом исключённого третьего, для любого высказывания либо оно истинно, либо его отрицание истинно: A∨¬A.

Закон Бенфорда — наблюдение, что во многих реальных наборах числовых данных первая цифра чаще всего оказывается маленькой.^[21] В наборах, подчиняющихся этому закону, цифра 1 встречается в качестве первой значащей примерно в 30% случаев, а 9 — менее чем в 5% случаев. Если бы цифры распределялись равномерно, каждая встречалась бы примерно в 11,1% случаев^[22].

Сильный закон малых чисел в шутливой форме утверждает, что любое малое число встречается гораздо чаще, чем кажется разумным, что приводит к множеству на первый взгляд удивительных совпадений в математике, просто потому что малых чисел мало, а встречаются они часто.