Додекаэдральные соты порядка 4

Двугранный угол додекаэдра равен ~116.6°, так что невозможно разместить 4 додекаэдра на ребре в евклидовом 3-мерном пространстве. Однако в гиперболическом пространстве для додекаэдра можно подобрать размер так, что его двугранные углы уменьшаются до 90 градусов, а тогда четыре додекаэдра точно заполняют пространство вокруг каждого ребра.

Соты строятся с половинной симметрией, {5,3^1,1}, с двумя типами (цветами) шестиугольных мозаик в построении Витхоффа. ↔ .

Модель Бельтрами — Клейна

Существует четыре вида правильных компактных сот в гиперболическом 3D-пространстве:

Четыре вида правильных компактных сот в H³

{5,3,4}

{4,3,5}

{3,5,3}

{5,3,5}

Существует пятнадцать видов однородных сот в семействе [5,3,4] групп Коксетера, включая эти правильные формы.

Семейство сот [5,3,4]

{5,3,4}	r{5,3,4}	t{5,3,4}	rr{5,3,4}	t0,3{5,3,4}	tr{5,3,4}	t0,1,3{5,3,4}	t0,1,2,3{5,3,4}
{4,3,5}	r{4,3,5}	t{4,3,5}	rr{4,3,5}	2t{4,3,5}	tr{4,3,5}	t0,1,3{4,3,5}	t0,1,2,3{4,3,5}

Существует одиннадцать видов однородных сот в разветвлённом семействе [5,3^1,1] групп Коксетера, включая соты в чередующейся форме. Это построение может быть представлено чередованием (как на шахматной доске) с двумя цветами додекаэдральных ячеек.

Эти соты связаны также с 16-ячейником, кубическими сотами и шестиугольными мозаичными сотами порядка 4, все имеют октаэдральные вершинные фигуры:

Правильные соты {p,3,4}
Пространство	S3	E3	H3
Вид	Конечные	Аффинные	Компактные	Паракомпактные	Неокомпактные
Название	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
Рисунок
Ячейки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Эти соты являются частью последовательности четырёхмерных многогранников и сот с додекаэдральными ячейками:

{5,3,p}

Пространство	S3	H3
Вид	Конечные	Компактные		Паракомпактные	Неокомпактные
Название	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3,∞}
Рисунок
Vertex figure	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Полноусечённые додекаэдральные соты порядка 4
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	r{5,3,4} r{5,31,1}
Диаграммы Коксетера — Дынкина	↔
Ячейки	r{5,3} {3,4}
Грани	Треугольники {3} пятиугольники {5}
Вершинная фигура	куб
Группа Коксетера	BH3, [5,3,4] DH3, [5,31,1]
Свойства	Вершинно транзитивные, рёберно транзитивные

Полноусечённые додекаэдральные соты порядка 4', , имеют чередующиеся октаэдральные и икосододекаэдральные ячейки с кубом в качестве вершинной фигуры.

Существует четыре вида полноусечённых компактных правильных сот:

Четыре полноусечённых правильных компактных сот в H³

Рисунок
Обозначение	r{5,3,4}	r{4,3,5}	r{3,5,3}	r{5,3,5}
Вершинная фигура

Усечённые додекаэдральные соты порядка 4
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	t{5,3,4} t{5,31,1}
Диаграммы Коксетера — Дынкина	↔
Ячейки	t{5,3} {3,4}
Грани	Треугольники {3} десятиугольники {10}
Вершинная фигура	Квадратная пирамида
Группа Коксетера	BH3, [5,3,4] DH3, [5,31,1]
Свойства	Вершинно транзитивные

Усечённые додекаэдральные соты порядка 4, , имеют октаэдральные и усечённые додекаэдральные ячейки с кубом в качестве вершинной фигуры.

Соты можно рассматривать как аналог двумерных гиперболических усечённых пятиугольных мозаик порядка 4 t{5,4} с гранями в виде усечённых пятиугольников и квадратов:

Четыре вида усечённых правильных правильных компактных сот в H³

Рисунок
Обозначение	t{5,3,4}	t{4,3,5}	t{3,5,3}	t{5,3,5}
Вершинная фигура

Биусечённые додекаэдральные соты порядка 4 Биусечённые кубические соты порядка 5
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	2t{5,3,4} 2t{5,31,1}
Диаграммы Коксетера — Дынкина	↔
Ячейки	t{3,5} t{3,4}
Грани	Треугольники {3} квадраты {4} шестиугольники {6}
Вершинная фигура	Тетраэдр
Группа Коксетера	BH3, [5,3,4] DH3, [5,31,1]
Свойства	Вершинно транзитивные

Биусечённые додекаэдральные соты порядка 4 или биусечённые кубические соты порядка 5, , имеют усечённые октаэдры и усечённые икосаэдры в качестве ячеек и тетраэдр в качестве вершинной фигуры.

Три вида биусечённых правильных компактных сот в H³

Рисунок
Обозначение	2t{4,3,5}	2t{3,5,3}	2t{5,3,5}
Вершинная фигура

Скошенные додекаэдральные соты порядка 4
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	rr{5,3,4} rr{5,31,1}
Диаграммы Коксетера — Дынкина	↔
Ячейки	rr{3,5} r{3,4} {}x{4} куб
Грани	Треугольники {3} квадраты {4} пятиугольники {5}
Вершинная фигура	Треугольная призма
Группа Коксетера	BH3, [5,3,4] DH3, [5,31,1]
Свойства	Вершинно транзитивные

Скошенные додекаэдральные соты порядка 4,, имеют ромбоикосододекаэдральные, кубооктаэдральные и кубические ячейки и треугольную призму в качестве вершинной фигуры.

Четыре вида скошенных правильных компактных сот в H3
Рисунок Обозначение rr{5,3,4} rr{4,3,5} rr{3,5,3} rr{5,3,5} Вершинная фигура

Скошено-усечённые додекаэдральные соты порядка 4
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	tr{5,3,4} tr{5,31,1}
Диаграммы Коксетера — Дынкина	↔
Ячейки	tr{3,5} t{3,4} {}x{4} Кубы
Грани	квадраты {4} шестиугольники {6} десятиугольники {10}
Вершинная фигура	зеркальный сфеноид
Группа Коксетера	BH3, [5,3,4] DH3, [5,31,1]
Свойства	Вершинно транзитивные

Скошено-усечённые додекаэдральные соты порядка 4 являются однородными сотами с диаграммой Коксетера — Дынкина и имеющие зеркальный сфеноид в качестве вершинной фигуры.

Четыре вида скошено-усечённых правильных компактных сот в H³

Рисунок
Обозначение	tr{5,3,4}	tr{4,3,5}	tr{3,5,3}	tr{5,3,5}
Вершинная фигура

Струг-усечённые додекаэдральные соты порядка 4
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	t0,1,3{5,3,4}
Диаграммы Коксетера — Дынкина
Ячейки	t{5,3} rr{3,4} {}x{10} {}x{4}
Грани	Треугольники {3} квадраты {4} десятиугольники {10}
Вершинная фигура	quad пирамида
Группа Коксетера	BH3, [5,3,4]
Свойства	Вершинно транзитивные

Струг-усечённые додекаэдральные соты порядка 4 — это однородные соты с диаграммой Коксетера — Дынкина и четырёхугольной пирамидой в качестве вершинной фигуры.

Четыре вида струг-усечённых правильных компактных сот в H3
Рисунок Обозначение t0,1,3{5,3,4} t0,1,3{4,3,5} t0,1,3{3,5,3} t0,1,3{5,3,5} Вершинная фигура