Группа кос

Группа кос имеет несколько различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.

Классический подход к определению группы кос основан на понятии умножения кос. Так, произведением двух кос ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ из одинакового числа нитей называется коса ${\displaystyle \alpha \beta }$, полученная путём соединения правых концов нитей первой косы с левыми концами нитей второй косы^[1].

Такое умножение задаёт на множестве ${\displaystyle B_{n}}$ всех кос из ${\displaystyle n}$ нитей ассоциативную бинарную операцию. Тривиальная коса из ${\displaystyle n}$ нитей, то есть такая, у которой все нити являются прямыми, является нейтральным элементом относительно умножения кос. Далее, все элементы из ${\displaystyle B_{n}}$ обратимы относительно данной операции, а именно, обратным элементом к данному является обратная коса, которая получается из исходной косы отражением относительно плоскости, перпендикулярной её нитям^[2]. Таким образом, вместе с операцией умножения множество ${\displaystyle B_{n}}$ является группой, которая называется группой кос из ${\displaystyle n}$ нитей^[3][4].

Данный подход к определению группы кос идеалогически восходит к теории узлов.

Согласно теореме Артина, группа кос порождается образующими Артина и допускает в этих образующих следующее конечное задание:

${\displaystyle B_{n}\cong \langle \sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}}$ для ${\displaystyle 1\leq i\leq n-2;\ \ \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$ для ${\displaystyle |i-j|\geq 2\rangle }$.

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое идеалогически восходит к комбинаторной теории групп.

Группа кос может быть задана своим классифицирующим пространством, а именно, она изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ неупорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек евклидовой плоскости^[5][6]:

${\displaystyle B_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2}))}$.

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое идеалогически восходит к теории гомотопий.

Группа кос изоморфна группе сплетающих автоморфизмов свободной группы^[7].

Группа кос изоморфна группе классов отображений замкнутого диска с ${\displaystyle n}$ проколами^[8]:

${\displaystyle B_{n}\cong {\rm {MCG}}(D_{n}^{2};\partial D_{n}^{2})}$.

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое идеалогически восходит к двумерной топологии.

Согласно теореме Артина, группы кос из малого числа нитей допускают следующие элементарные описания. Группа кос из одной нити тривиальна:

${\displaystyle B_{1}=\{1\}}$.

Группа кос из двух нитей является бесконечной циклической:

${\displaystyle B_{2}\cong \langle \sigma _{1}\mid \varnothing \rangle \cong \mathbb {Z} }$.

Группа кос из трёх нитей изоморфна группе трилистника:

${\displaystyle B_{3}\cong \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\mid \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\rangle }$.

При ${\displaystyle n\geq 3}$ ранг группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ равен двум. Так, она не является циклической (и даже не является абелевой^[9]), а также может быть порождена двумя элементами ${\displaystyle \sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\ldots \sigma _{n-1}}$^[10].

При ${\displaystyle n\geq 2}$ абелианизация группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ изоморфна бесконечной циклической группе^[10]:

${\displaystyle B_{n}/[B_{n},B_{n}]\cong \mathbb {Z} }$.

Гомоморфизм абелианизации ${\displaystyle B_{n}\to \mathbb {Z} }$ сопоставляет косе ${\displaystyle \beta }$ её экспоненциальную сумму ${\displaystyle {\rm {exp}}(\beta )}$.

Таким образом, коммутант ${\displaystyle [B_{n},B_{n}]}$ группы ${\displaystyle B_{n}}$ состоит из тех кос, у которых экспоненциальная сумма равна нулю.

Центр группы кос является циклическим. А именно, при ${\displaystyle n\geq 3}$ он порождается полным оборотом^[11]:

${\displaystyle Z(B_{n})=\langle \Delta _{n}^{2}\rangle }$.

Кроме того,

${\displaystyle Z(B_{2})=\langle \Delta _{1}\rangle =B_{2}}$.

Данные свойства позволяют установить, что при ${\displaystyle n\neq m}$ группы ${\displaystyle B_{n}}$ и ${\displaystyle B_{m}}$ не изоморфны^[12].

Автоморфизмы группы кос допускают следующее описание.

При ${\displaystyle n\geq 2}$ группа внешних автоморфизмов ${\displaystyle {\rm {Out}}(B_{n})}$ группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ является циклической и порождена классом автоморфизма-отражения ${\displaystyle \tau _{n}}$, действующего на образующих Артина формулой

${\displaystyle \sigma _{i}\mapsto \sigma _{i}^{-1}}$.

Данный автоморфизм имеет порядок два, и имеется изоморфизм

${\displaystyle {\rm {Out}}(B_{n})\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Точная последовательность

${\displaystyle 1\to {\rm {Inn}}(B_{n})\to {\rm {Aut}}(B_{n})\to {\rm {Out}}(B_{n})\to 1}$

расщепляется, и группа автоморфизмов группы кос раскладывается в полупрямое произведение:

${\displaystyle {\rm {Aut}}(B_{n})\cong {\rm {Inn}}(B_{n})\rtimes \langle \tau _{n}\rangle }$.

Группа внутренних автоморфизмов ${\displaystyle {\rm {Inn}}(B_{n})}$ группы кос, будучи изоморфной её факторгруппе по центру, также изоморфна группе классов отображений сферы с ${\displaystyle n}$ проколами:

${\displaystyle {\rm {Inn}}(B_{n})\cong B_{n}/Z(B_{n})\cong {\rm {MCG}}(S_{n}^{2})}$.

Например, группа внутренних автоморфизмов группы кос из трёх нитей изоморфна модулярной группе:

${\displaystyle {\rm {Inn}}(B_{3})\cong B_{3}/Z(B_{3})\cong {\rm {MCG}}(S_{3}^{2})\cong {\rm {PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$.

Подводя итог, группа автоморфизмов группы кос изоморфна расширенной группе классов отображений сферы с ${\displaystyle n}$ проколами:

${\displaystyle {\rm {Aut}}(B_{n})\cong {\rm {MCG}}^{\pm }(S_{n}^{2})}$.

При ${\displaystyle n\geq 2}$ группа кос не имеет кручения. Иными словами, любая коса, кроме тривиальной, имеет бесконечный порядок.

Одна из причин отсутствия кручения — наличие линейных порядков на группах кос^[13]. Например, порядка Деорнуа.

Другая причина состоит в том, что фундаментальная группа любого асферического конечномерного CW-комплекса не имеет кручения, а конфигурационное пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ является асферическим^[14] многообразием.

При ${\displaystyle n\geq 2}$ группа кос ${\displaystyle B_{n}}$ является остаточно конечной^[15]. В частности, она хопфова.

Для данных косы ${\displaystyle \beta \in B_{n}}$ и целого числа ${\displaystyle m}$ задача определения того, существует ли коса ${\displaystyle \alpha \in B_{n}}$ со свойством ${\displaystyle \alpha ^{m}=\beta }$, алгоритмически разрешима. Но такая коса ${\displaystyle \alpha }$ не обязательно единственна. Например, для любого ${\displaystyle n\geq 2}$ в группе кос ${\displaystyle B_{n}}$ фундаментальная коса ${\displaystyle \Delta _{n}^{2}}$ допускает следующие представления:

${\displaystyle (\sigma _{1}\sigma _{2}\ldots \sigma _{n-1})^{n}=(\sigma _{n-1}\sigma _{n-2}\ldots \sigma _{1})^{n}}$.

При ${\displaystyle n\geq 3}$ косы ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\ldots \sigma _{n-1}}$ и ${\displaystyle \sigma _{n-1}\sigma _{n-2}\ldots \sigma _{1}}$ различны, поскольку, например, различны их перестановки.

В сборнике открытых проблем комбинаторной теории групп^[16] Геннадий Семёнович Маканин сформулировал гипотезу о том, что любые два решения предыдущего уравнения сопряжены в группе кос. Вскоре, с помощью классификации Нильсена-Тёрстона, она была доказана^[17]. Таким образом, извлечение корней из кос является однозначным с точностью до сопряженности.

При ${\displaystyle n\geq 3}$ пространство псевдохарактеров группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ бесконечномерно^[18]. Примечательный псевдохарактер на группе кос задаёт закрученность косы.

При всех ${\displaystyle n\geq 1}$ группа кос ${\displaystyle B_{n}}$ является линейной, то есть допускает точное представление в полную линейную группу над некоторым полем. Например, представление Лоуренс – Краммера – Бигелоу является точным^[19][20].

Сопоставление ${\displaystyle \beta \mapsto \pi _{\beta }}$ косе её перестановки задаёт групповой эпиморфизм

${\displaystyle \pi \colon B_{n}\to S_{n}}$

из группы кос в симметрическую группу. Он переводит образующие Артина ${\displaystyle \sigma _{i}}$ в элементарные транспозиции ${\displaystyle s_{i}:=(i,i+1)}$.

С помощью данного эпиморфизма косы из ${\displaystyle n}$ нитей можно рассматривать как физический аналог перестановок множества ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$. Утверждение о том, что каждая коса представляется в виде произведения образующих Артина и их обратных, в некотором смысле соответствует утверждению о том, что каждую перестановку можно представить в виде композиции транспозиций ${\displaystyle s_{i}}$. Принципиальное отличие состоит в том, что ${\displaystyle \sigma _{i}\neq \sigma _{i}^{-1}}$, в то время как ${\displaystyle s_{i}=s_{i}^{-1}}$. Таким образом, грубо говоря, при описании косы в терминах элементарных транспозиций ${\displaystyle (i,i+1)}$ необходимо задать не только индекс ${\displaystyle i}$, но то, ‎как именно ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle i+1}$ меняются местами — проходит нить под номером ${\displaystyle i}$ над нитью под номером ${\displaystyle i+1}$ или под. Игнорирование этой информации и приводит к понятию перестановки, соответствующей косе.

Ядром эпиморфизма ${\displaystyle \pi }$ является группа крашеных кос ${\displaystyle P_{n}}$. Согласно теореме о гомоморфизме,

${\displaystyle B_{n}/P_{n}\cong S_{n}}$.

В частности, группа крашеных кос является нормальной подгруппой группы ${\displaystyle B_{n}}$ индекса ${\displaystyle n!}$.